Question

Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A (4,-5), B(-3, 3), C( -5, -2) и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB.

Answer 1

Посмотрите предложенный вариант. Арифметические расчёты не проверялись.

Answer 2

Для нахождения длины высоты AD треугольника ABC, сначала найдем координаты точки D (перпендикулярной к точке C), а затем вычислим расстояние между C и D.

1. Найдем координаты точки D: Высота AD проходит из вершины A (4,-5) перпендикулярно к стороне BC. Поскольку точка D находится на прямой BC, то ее координаты могут быть найдены так:

1.1. Найдем уравнение прямой BC. Используем формулу наклона прямой: наклон (m) = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек на прямой. Точки B(-3, 3) и C(-5, -2): m_BC = (3 - (-2)) / (-3 - (-5)) = 5 / 2.

Теперь, уравнение прямой BC можно представить в виде y = mx + b, подставим координаты точки B (-3, 3): 3 = (5/2)(-3) + b, b = 3 + 15/2, b = 21/2.

Уравнение прямой BC: y = (5/2)x + 21/2.

1.2. Найдем координаты точки D. Так как точка D лежит на прямой BC и перпендикулярна к AB, то ее наклон будет обратным и противоположным по знаку.

m_AD = -2/5 (перпендикулярный наклон).

Теперь используем уравнение прямой в общем виде, чтобы найти координаты D: y = (-2/5)x + b, где b - y-пересечение прямой AD.

Подставим координаты точки A (4, -5): -5 = (-2/5)(4) + b, -5 = -8/5 + b, b = -5 + 8/5, b = -17/5.

Таким образом, уравнение прямой AD: y = (-2/5)x - 17/5.

2. Теперь найдем перпендикуляр из точки C на прямую AB. Перпендикуляр из точки C на прямую AB будет иметь противоположный обратный наклон (перпендикулярный) к наклону прямой AB.

Наклон прямой AB: m_AB = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) - координаты точки A (4, -5), а (x2, y2) - координаты точки B (-3, 3). m_AB = (3 - (-5)) / (-3 - 4) = 8 / (-7) = -8/7.

Таким образом, перпендикулярный наклон для прямой, проходящей через точку C, будет обратным и противоположным: m_perpendicular = 7/8.

Теперь, используем уравнение прямой в общем виде, чтобы найти уравнение перпендикуляра из точки C: y = (7/8)x + b, где b - y-пересечение перпендикуляра.

Подставим координаты точки C (-5, -2): -2 = (7/8)(-5) + b, -2 = -35/8 + b, b = -2 + 35/8, b = 19/8.

Таким образом, уравнение перпендикуляра из точки C на прямую AB: y = (7/8)x + 19/8.