Question

Нужно найти расстояние от точки М0(5; 14; 3), до плоскости, проходящей через точку М1(-5;-15;-6) параллельно вектору s=(0; 5; 2) и перпендикулярной плоскости Р: 7x-3y+5z-10=0.Помогите пожалуйста!

Answer 1

Найдём уравнение прямой М1М2, проходящей через точку М1(-5;-15;-6) с направляющим вектором s = (0; 5; 2).

(x + 5)/0 = (y + 15)/5 = (z+ 6)/2 = t.

Уравнение М1М2  представим в параметрическом виде.

x = 0t - 5,

y = 5t - 15,

z = 2t - 6.

И подставим в уравнение плоскости Р: 7x-3y+5z-10=0.

-35 - 15t + 45 + 10t - 30 - 10 = 0.

-5t - 30 = 0

t = -30/-5 = 6.

Получаем координаты точки  М2 пересечения прямой М1М2 с плоскостью Р.

x = 0*6 - 5 = -5,

y = 5*6 - 15 = 15,

z = 2*6 - 6 = 6.

Точка М2(-5; 15; 6).

Составим уравнение плоскости, проходящей через точки M1(-5;-15; -6), М2(-5; 15; 6) перпендикулярно плоскости Р: 7x-3y+5z-10=0.

Так как M1 ∈ Р, то используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, будем иметь A(x+5)+B(y+15)+C(z+6)=0.

Далее, так как M2 ∈ Р, то подставив координаты точки в выписанное уравнение, получим равенство: A(-5+5)+B(15+15)+C(6+6)=0

0A + 30В + 12C = 0 или 30В + 12C = 0.  Отсюда С = (-30/12)В = (-5/2)B.

Учтем, что заданная плоскость перпендикулярна искомой. Поэтому A+B+C=0.

Выразим коэффициенты A и С через В:

Составим систему уравнений:

{  A + B + C = 0.                      {  A + B + C = 0.

{A + 30В +12(-5/2)В = 0.         {A + 30В - 30В = 0,     A = 0.

A = 0, С = (-5/2)B и подставим их в исходное уравнение:

A(x+5) + B(y+15) + C(z+6) = 0.

0 + B(y+15) + (-5/2)B(z+6 )= 0, сократим на В:

y + 15 + (-5/2)z - 15 = 0, приведём к общему знаменателю:

2y + 30 - 5z - 30 = 0.

Окончательно получаем уравнение плоскости Р1: 2y - 5z = 0.

Расстояние от точки M(x0,y0,z0) до плоскости P1:Ax+By+Cz+D=0 вычисляется по формуле

d = ∣Ax0+By0+Cz0+D|/√(A²+B²+C²).

Подставляем:

d = |0*5 + 2*14 + (-5)*3|/√(0² + 2² + (-5)²) = 7/√29 ≈ 1,3.

Answer 2

Чтобы найти расстояние от точки M0(5, 14, 3) до плоскости, мы можем воспользоваться формулой для вычисления расстояния между точкой и плоскостью.

Первым шагом необходимо найти уравнение плоскости, проходящей через точку М1(-5, -15, -6) и параллельной вектору s(0, 5, 2).

Уравнение плоскости в общем виде имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости.

Нормальный вектор плоскости, параллельной вектору s(0, 5, 2), будет иметь те же самые координаты, то есть (0, 5, 2).

Теперь мы можем использовать уравнение плоскости Р: 7x - 3y + 5z - 10 = 0 для определения расстояния от точки M0 до плоскости.

Формула для расстояния между точкой (x0, y0, z0) и плоскостью Ax + By + Cz + D = 0 выглядит следующим образом:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Подставим значения в формулу:

d = |75 - 314 + 5*3 - 10| / sqrt(7^2 + (-3)^2 + 5^2)

d = |35 - 42 + 15 - 10| / sqrt(49 + 9 + 25)

d = |-2| / sqrt(83)

d = 2 / sqrt(83)

Таким образом, расстояние от точки М0(5, 14, 3) до плоскости Р: 7x - 3y + 5z - 10 = 0 равно 2 / sqrt(83).