Question

Привести кривую второго порядка к каноническому виду с переносом осей и построить её x^2+y^2-2xy-2x+2y-7=0 50 баллов

Answer 1

(x-y)^2-2(x-y)-7=0

D=4+28=32

x-y=(2+4√2)/2=1+2√2; y=x-1-2√2-первая прямая

x-y=(2-4√2)/2=1-2√2;  y=x-1+2√2-вторая прямая

Answer 2

Чтобы привести данную кривую второго порядка к каноническому виду с переносом осей, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Избавиться от членов смешанного порядка (xy) путем введения новых переменных.
2. Привести выражение к квадратичному трехчлену.
3. Выполнить перенос осей для получения канонической формы.

Начнем с исходного уравнения:

x^2 + y^2 - 2xy - 2x + 2y - 7 = 0

1. Избавляемся от членов смешанного порядка:

Введем новые переменные u и v, такие что:

u = x - y v = x + y

Тогда, заменим x и y в исходном уравнении:

(x - y)^2 + (x + y)^2 - 2(x - y) - 2x + 2y - 7 = 0

Раскроем скобки:

x^2 - 2xy + y^2 + x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 2y - 7 = 0

Упростим:

2x^2 + 2y^2 - 2x + 2y - 7 = 0

2. Приведем уравнение к квадратичному трехчлену:

Разделим все коэффициенты на 2:

x^2 + y^2 - x + y - 7/2 = 0

3. Выполним перенос осей для получения канонической формы:

Выполним замену переменных:

X = x - 1/2 Y = y + 1/2

Тогда, заменим x и y в уравнении:

(X + 1/2)^2 + (Y - 1/2)^2 - (X + 1/2) + (Y - 1/2) - 7/2 = 0

Раскроем скобки и упростим:

X^2 + Y^2 - X + Y - 3/2 = 0

Таким образом, каноническая форма исходного уравнения с переносом осей будет:

X^2 + Y^2 - X + Y - 3/2 = 0

Теперь мы можем построить данную кривую на координатной плоскости с переносом осей X и Y.