Question

Z1=2+5i Z2=6+7i Знайти суму, різницю, множення, ділення та піднести до степеня

Answer 1

$z_1=2+5i\; \; ,\; \; z_2=6+7i\\\\\\1)\; \; z_1+z_2=(2+5i)+(6+7i)=8+12i\\\\2)\; \; z_1-z_2=(2+5i)-(6+7i)=-4-2i\\\\3)\; \; z_1\cdot z_2=(2+5i)\cdot (6+7i)=12+14i+30i-35=-23+44i\\\\4)\; \; \frac{z_1}{z_2}=\frac{2+5i}{6+7i}=\frac{(2+5i)(6-7i)}{36-49i^2}=\frac{12-14i+30i+35}{36+49}=\frac{47+16i}{85}=\frac{47}{85}+\frac{16}{85}\, i$

Answer 2

Дано два комплексних числа:

Z1 = 2 + 5i Z2 = 6 + 7i

Ми можемо виконати різні операції з цими числами:

1. Сума: Сума двох комплексних чисел обчислюється додаванням їх дійсних і уявних частин окремо:

Z1 + Z2 = (2 + 5i) + (6 + 7i) = (2 + 6) + (5 + 7)i = 8 + 12i

2. Різниця: Різниця двох комплексних чисел обчислюється відніманням їх дійсних і уявних частин окремо:

Z1 - Z2 = (2 + 5i) - (6 + 7i) = (2 - 6) + (5 - 7)i = -4 - 2i

3. Множення: Множення двох комплексних чисел виконується так само, як множення двох бінарних чисел:

Z1 * Z2 = (2 + 5i) * (6 + 7i)

Для обчислення множення, ми застосовуємо правило розподілу над додаванням:

Z1 * Z2 = 2 * 6 + 2 * 7i + 5i * 6 + 5i * 7i = 12 + 14i + 30i + 35i^2

Запам'ятовуємо, що за визначенням i^2 = -1, тому:

Z1 * Z2 = 12 + 14i + 30i - 35 = -23 + 44i

4. Ділення: Ділення комплексних чисел виконується за допомогою спряженого числа.

Спряжене комплексного числа Z (позначене як Z*) має ту саму дійсну частину, але уявну частину зі зміненим знаком.

Для Z = a + bi, спряжене число Z* = a - bi.

Тоді, ділення двох комплексних чисел виглядає наступним чином:

Z1 / Z2 = (2 + 5i) / (6 + 7i)

Ми помножимо чисельник і знаменник на спряжене Z2*:

Z1 / Z2 = (2 + 5i) * (6 - 7i) / ((6 + 7i) * (6 - 7i))

За допомогою розподільного властивості, ми отримуємо:

Z1 / Z2 = (12 - 14i + 30i - 35i^2) / (36 - 49i^2)

Так як i^2 = -1:

Z1 / Z2 = (12 - 14i + 30i + 35) / (36 + 49) = (47 + 16i) / 85

5. Піднесення до степеня: Піднесення комплексного числа до степеня n здійснюється шляхом множення числа на себе n-1 разів.

З1^2 = (2 + 5i)^2 = (2 + 5i) * (2 + 5i) = 4 + 20i + 25i^2

Запам'ятовуємо, що i^2 = -1, тому:

Z1^2 = 4 + 20i - 25 = -21 + 20i

Нагадаю, що в цьому контексті, Z1^2 означає "Z1 піднесене до степеня 2". Таким чином, щоб підняти Z1 до будь-якого іншого степеня, вам просто потрібно буде помножити Z1 саме на себе багато разів відповідну кількість разів.