Question

Знайти площу фігури обмеженої лінями y=x^2+2x+1,y=x+3​

Answer 1

Дано: F(x) = x² + 2*x + 1,  y(x)= x+3

Найти: S=? - площадь фигуры

Пошаговое объяснение:

1) Находим точки пересечения графиков: F(x)=y(x).

x²- x+2=0 - квадратное уравнение

b = 1 - верхний предел, a = -2 - нижний предел.

2) Площадь - интеграл разности функций. Прямая выше параболы.

s(x) =  y(x) - F(x) = 2 - x - x² - подинтегральная функция

3) Интегрируем функцию и получаем:

S(x) = 2*x - 1/2*x² - 1/3*x³

4) Вычисляем на границах интегрирования.

S(b) = S(1) = 2 - 0,5 - 0,33 = 1,17

S(a) = S(-2) = -4 - 2 + 2,67 = - 3,33

 S = S(1)- S(-2)  = 4,5(ед.²) - площадь - ответ

Рисунок к задаче в приложении.

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої цими двома лініями, спочатку треба знайти точки перетину цих ліній. Після цього можна обчислити інтеграл від різниці цих функцій від їхніх точок перетину, щоб знайти площу фігури, яка обмежена цими лініями.

Спочатку знайдемо точки перетину ліній, прирівнявши рівняння обох ліній одне до одного:

x^2 + 2x + 1 = x + 3

Розподілимо це рівняння:

x^2 + x - 2 = 0

Тепер знайдемо корені цього квадратного рівняння:

(x + 2)(x - 1) = 0

Звідси отримуємо дві точки перетину: x = -2 і x = 1.

Тепер, коли ми знаємо точки перетину, можемо обчислити площу фігури, використовуючи інтеграл:

Площа = ∫(y2 - y1) dx з пределами від x = -2 до x = 1

Де y2 - це функція y = x^2 + 2x + 1, а y1 - це функція y = x + 3.

Розрахуємо інтеграл:

Площа = ∫((x^2 + 2x + 1) - (x + 3)) dx з пределами від x = -2 до x = 1

Площа = ∫(x^2 + x - 2) dx з пределами від x = -2 до x = 1

Площа = [(x^3/3) + (x^2/2) - 2x] з пределами від x = -2 до x = 1

Підставимо верхній і нижній предел в цю формулу:

Площа = [(1^3/3) + (1^2/2) - 2(1)] - [((-2)^3/3) + ((-2)^2/2) - 2(-2)]

Площа = [1/3 + 1/2 - 2] - [(-8/3 + 4 - (-4))]

Площа = [1/3 + 1/2 - 2] - [(-8/3 + 4 + 4)]

Площа = [-17/6] - [4/3]

Площа = -17/6 - 4/3

Площа = (-17 - 8) / 6

Площа = -25 / 6

Отже, площа фігури, обмеженої цими лініями, становить -25/6.