Question

Первая прямая проходит через точки A=(-11;5) и B=(-5;6). Вторая прямая проходит через точки C=(17;4) и D=(22;5). Найти координаты точки пересечения этих прямых.

Answer 1

Есть 2 метода решения этой задачи.

1) По координатам точек определить уравнения прямых с угловым коэффициентом y=ax+b .

                 x1     y1           x2   y2

Прямая A -11     5            -5    6

Прямая B 17  4             22   5

   a               b

0,1667      6,8333

0,2           0,6

Ответ:        x        y

               187      38 .

2)  По координатам точек определить уравнения прямых в общем виде.   Вот алгоритм:

//вычислим коэффициенты уравнений прямых

a1=y1-y2

b1=x2-x1

c1=x1*y2-x2*y1

a2=y3-y4

b2=x4-x3

c2=x3*y4-x4*y3

//и решим методом Крамера

//найдем определитель матрицы коэффициентов

d=a1*b2-b1*a2

если d=0 то

-если а1=а2, то прямые совпадают

- иначе прямые параллельны

иначе найдем точку пересечения

найдем вспомогательные определители

dx=-c1*b2+b1*c2

dy=-a1*c2+c1*a2

x:=dx/d

y:=dy/d.

Вот решение по такой схеме:

                x1 y1         x2 y2

Прямая A -11 5       -5 6

   

                x3 y3         x4 y4

Прямая B 17 4          22   5

   

Прямая A a1   b1    c1  

                 -1    6    -41  

   

Прямая B a2   b2      c2  

                 -1     5       -3  

   

d = 1  dx = 187

  dy = 38

x = 187    

y  = 38.    

Answer 2

Для нахождения координат точки пересечения двух прямых мы можем воспользоваться уравнением прямой в общем виде.

Уравнение прямой в общем виде имеет вид: Ax + By + C = 0.

Для первой прямой, проходящей через точки A=(-11;5) и B=(-5;6), мы можем найти коэффициенты A, B и C.

Используем точки A и B:

A * x + B * y + C = 0

Подставим координаты точки A:

A * (-11) + B * 5 + C = 0 ........(1)

Подставим координаты точки B:

A * (-5) + B * 6 + C = 0 ........(2)

Решим эту систему уравнений для коэффициентов A, B и C.

Уравнение (1) * 6 и уравнение (2) * 5:

-66A + 30B + 6C = 0

-25A + 30B + 5C = 0

Прибавим эти два уравнения:

-66A + 30B + 6C - 25A + 30B + 5C = 0

-91A + 60B + 11C = 0 ........(3)

Для второй прямой, проходящей через точки C=(17;4) и D=(22;5), мы также можем найти коэффициенты A, B и C.

Аналогично первой прямой, составим систему уравнений:

A * x + B * y + C = 0

Подставим координаты точки C:

A * 17 + B * 4 + C = 0 ........(4)

Подставим координаты точки D:

A * 22 + B * 5 + C = 0 ........(5)

Решим эту систему уравнений для коэффициентов A, B и C.

Уравнение (4) * 5 и уравнение (5) * 4:

85A + 20B + 5C = 0

88A + 20B + 4C = 0

Прибавим эти два уравнения:

85A + 20B + 5C + 88A + 20B + 4C = 0

173A + 40B + 9C = 0 ........(6)

Теперь у нас есть две системы уравнений: (3) и (6). Решим их, чтобы найти значения коэффициентов A, B и C.

Система уравнений (3) и (6):

-91A + 60B + 11C = 0 ........(3) 173A + 40B + 9C = 0 ........(6)

Решив эту систему, получим:

A = -600/961 B = 825/961 C = -110/961

Теперь, когда у нас есть коэффициенты A, B и C для обеих прямых, мы можем найти координаты точки пересечения.

Для этого подставим значения A, B и C в уравнение первой прямой:

(-600/961) * x + (825/961) * y - (110/961) = 0

Аналогично, подставим значения A, B и C в уравнение второй прямой:

(173/961) * x + (40/961) * y + (9/961) = 0

Теперь у нас есть система из двух уравнений, которую мы можем решить для нахождения значений x и y координат точки пересечения этих прямых.