Question

Каждую клетку доски 7х7 закрасили в один из девяти цветов. Известно, что у каждой клетки, не примыкающей к краю доски, есть соседи (по горизонтали, вертикали или диагонали) всех восьми цветов, на совпадающих с цветом этой клетки. Докажите, что клеток каждого из девяти цветов не меньше четырех.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

7•7=49

9•4=36 т. е каждый цвет может повторяться не менее 4 раз.

36+9=45т. е каждый цвет может использоваться и пять раз.

Если цвет используется менее 4 раз, то это противоречит условию

Answer 2

Давайте предположим, что существует цвет, клеток этого цвета меньше четырех. Предположим, что этот цвет называется "Цвет А". Поскольку каждая клетка не примыкает к краю доски и имеет соседей каждого из восьми цветов, клетки этого цвета должны иметь соседей всех остальных восьми цветов.

Рассмотрим одну клетку цвета А. Она имеет соседей каждого из остальных восьми цветов. Теперь давайте рассмотрим соседей этой клетки. Поскольку эти соседи не имеют цвета А, каждый из них должен иметь соседей всех остальных семи цветов (исключая цвет А). Если мы продолжим следовать этой логике и рассмотрим соседей соседей этой клетки, мы увидим, что каждая клетка вокруг клетки цвета А должна иметь соседей всех восьми цветов (исключая цвет А).

Теперь предположим, что есть клетка цвета В (не равного А), которая является соседом одной из клеток цвета А. Поскольку эта клетка не имеет цвета А, она должна иметь соседей всех остальных семи цветов (исключая цвет А). Однако она уже является соседом клетки цвета А, которая также имеет соседей всех восьми цветов (исключая цвет В). Это противоречие, потому что клетка цвета В не может быть соседом клетки цвета А, если обе клетки имеют соседей всех восьми цветов, и ни одна клетка не может быть соседом двух клеток одного цвета.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и предположение о том, что существует цвет с менее чем четырьмя клетками, должно быть неверным. Это означает, что клеток каждого из девяти цветов должно быть не меньше четырех.