Question

Провести полное исследование функции у=х^2+1/x^2

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Ну это все. Если что это правильно.

Answer 2

Для проведения полного исследования функции $y = x^2 + \frac{1}{x^2}$, мы выполним следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции.
3. Найти точки экстремума (минимумы и максимумы).
4. Найти точки разрыва и асимптоты.
5. Исследовать поведение функции на интервалах между точками разрыва и экстремумами.
6. Найти значения функции в интересующих нас точках.

Давайте по порядку выполним каждый шаг:

1. Область определения функции: Функция $y = x^2 + \frac{1}{x^2}$ определена для всех значений $x$, кроме $x = 0$, так как в этом случае знаменатель $\frac{1}{x^2}$ обращается в ноль, что делает функцию неопределенной.

   Область определения: $x \in \mathbb{R}, x \neq 0$.

2. Производная функции: Найдем производную функции $y = x^2 + \frac{1}{x^2}$ по $x$: $y' = \frac{d}{dx}\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) = 2x - \frac{2}{x^3}$

3. Точки экстремума: Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим уравнение: $2x - \frac{2}{x^3} = 0$

   Умножим уравнение на $x^3$ для упрощения: $2x^4 - 2 = 0$

   Решим уравнение: $x^4 = 1$

   Рассмотрим два случая:

   • Когда $x^4 = 1$ имеет два корня: $x = 1$ и $x = -1$.
   • При $x = 1$: $y = 1^2 + \frac{1}{1^2} = 1 + 1 = 2$.
   • При $x = -1$: $y = (-1)^2 + \frac{1}{(-1)^2} = 1 + 1 = 2$.

   Получаем две точки экстремума: $A(1, 2)$ и $B(-1, 2)$.

4. Точки разрыва и асимптоты: Точка разрыва возникает при $x = 0$ из-за неопределенности в знаменателе $\frac{1}{x^2}$.

   Асимптот нет, так как функция не содержит линейных членов.

5. Поведение функции на интервалах между точками разрыва и экстремумами:

   • При $x < -1$: $x^2$ и $\frac{1}{x^2}$ положительны, следовательно, функция убывает до точки $B(-1, 2)$.
   • При $-1 < x < 0$: $x^2$ отрицателен, но $\frac{1}{x^2}$ положителен. Таким образом, функция возрастает без ограничения.
   • При $0 < x < 1$: и $x^2$, и $\frac{1}{x^2}$ положительны, функция возрастает до точки $A(1, 2)$.
   • При $x > 1$: и $x^2$, и $\frac{1}{x^2}$ положительны, функция возрастает без ограничения.

6. Значения функции в интересующих нас точках: Уже ранее было рассчитано значение функции в точках экстремума:

   • $A(1, 2)$
   • $B(-1, 2)$

Таким образом, проведено полное исследование функции $y = x^2 + \frac{1}{x^2}$. Из графика можно увидеть, что функция имеет две точки минимума в $A(1, 2)$