Question

Решите пожалуйста (1-і)^10

Answer 1

Ответ:

-32i.

Пошаговое объяснение:

Модуль числа равен $\sqrt{2}$ ; аргумент равен $-\frac{\pi}{4}$. Значит,

1-i=$\sqrt{2} (cos(-\frac{\pi }{4} )-isin\frac{\pi }{4} )$.

По формуле Муавра:

($\sqrt{2} (cos(-\frac{\pi }{4} )-isin\frac{\pi }{4} )^{10}=\sqrt{2}^{10}(cos(-\frac{10\pi }{4})-isin\frac{10\pi }{4} )=32(0-i)=-32i$

Answer 2

Для решения этой задачи вам понадобится использовать формулу бинома Ньютона, которая выглядит следующим образом:

(a - b)^n = Σ(k=0 to n) [C(n, k) * a^(n-k) * b^k],

где a и b - числа, n - степень, C(n, k) - биномиальный коэффициент (количество сочетаний из n элементов по k элементов).

Для нашего случая a = 1, b = і (мнимая единица), n = 10, и мы хотим найти (1-і)^10.

Биномиальные коэффициенты можно вычислить по формуле C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!).

Давайте вычислим каждый член суммы для k от 0 до 10:

n = 10 a = 1 b = і

(1 - і)^10 = Σ(k=0 to 10) [C(10, k) * 1^(10-k) * і^k]

Теперь найдем биномиальные коэффициенты C(10, k) для каждого k от 0 до 10:

C(10, 0) = 10! / (0! * (10-0)!) = 1 C(10, 1) = 10! / (1! * (10-1)!) = 10 C(10, 2) = 10! / (2! * (10-2)!) = 45 C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120 C(10, 4) = 10! / (4! * (10-4)!) = 210 C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 252 C(10, 6) = 10! / (6! * (10-6)!) = 210 C(10, 7) = 10! / (7! * (10-7)!) = 120 C(10, 8) = 10! / (8! * (10-8)!) = 45 C(10, 9) = 10! / (9! * (10-9)!) = 10 C(10, 10) = 10! / (10! * (10-10)!) = 1

Теперь заменим значения в формуле и просуммируем:

(1 - і)^10 = 1*(1^10)і^0 + 10(1^9)і^1 + 45(1^8)і^2 + 120(1^7)і^3 + 210(1^6)і^4 + 252(1^5)і^5 + 210(1^4)і^6 + 120(1^3)і^7 + 45(1^2)і^8 + 10(1^1)і^9 + 1(1^0)*і^10

Упростим выражения:

(1 - і)^10 = 1 + 10і - 45 - 120і + 210 + 252і + 210 - 120і + 45 + 10і + 1

Теперь объединим действительные и мнимые части:

(1 - і)^10 = (1 - 45 + 210 + 210 + 45) + (10і - 120і + 252і - 120і + 10і)

(1 - і)^10 = 211 + 52і

Итак, (1 - і)^10 = 211 + 52і.