Question

Здравствуйте помогите решить пример. Дана функция переменных 2x^2-3xy+4y^2-9x+24y-9. Найти её экстремум

Answer 1

Ответ: -45................................

Answer 2

Для того чтобы найти экстремумы функции с двумя переменными, нам необходимо найти частные производные функции по каждой из переменных и приравнять их к нулю. Затем решим полученную систему уравнений, чтобы найти значения переменных в экстремальных точках. После этого, чтобы определить, является ли точка минимумом или максимумом, нужно проанализировать вторые частные производные.

Дана функция: f(x, y) = 2x^2 - 3xy + 4y^2 - 9x + 24y - 9

1. Найдем частные производные по x и y: df/dx = 4x - 3y - 9 df/dy = -3x + 8y + 24

2. Приравняем частные производные к нулю и решим систему уравнений: 4x - 3y - 9 = 0 -3x + 8y + 24 = 0

Давайте решим эту систему уравнений. Умножим второе уравнение на 4, чтобы избавиться от коэффициента перед x:

4x - 3y - 9 = 0 -12x + 32y + 96 = 0

Теперь сложим два уравнения:

4x - 3y - 9 - 12x + 32y + 96 = 0

Упростим:

-8x + 29y + 87 = 0

Теперь выразим x через y из последнего уравнения:

-8x = -29y - 87 x = (29y + 87) / 8

3. Подставим значение x в первое уравнение:

4x - 3y - 9 = 0 4((29y + 87) / 8) - 3y - 9 = 0

Теперь решим уравнение относительно y:

116y + 348 - 24y - 72 = 0 92y + 276 = 0 y = -276 / 92 y = -3

4. Теперь найдем значение x, используя значение y:

x = (29y + 87) / 8 x = (29*(-3) + 87) / 8 x = (87 - 87) / 8 x = 0

Таким образом, экстремум функции находится в точке (x, y) = (0, -3).

5. Чтобы определить, является ли это минимумом или максимумом, проанализируем вторые частные производные функции:

d^2f/dx^2 = 4 (постоянная положительная величина) d^2f/dy^2 = 8 (постоянная положительная величина) d^2f/dxdy = -3 (константа)

Для определения типа экстремума используем критерий вторых производных. В данном случае, так как обе вторые производные положительны (d^2f/dx^2 > 0 и d^2f/dy^2 > 0), это является локальным минимумом.

Итак, функция имеет локальный минимум в точке (0, -3) со значением -9.