Question

Пожалуйста помогите решить, у меня производные 2 порядка одинаковыми получаются :( исследовать на экстремум функции 1) z=x^2+xy+y^2-2x-y 2) z=x^3+3xy^2-51x-24y

Answer 1

1) $\frac{\partial z}{\partial x}=2x+y-2;\, \frac{\partial z}{\partial y}=x+2y-1;\, \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=2;\, \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=2;\, \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=1.$
стационарная точка
$\left \{ {{2x+y-2=0,} \atop {x+2y-1=0;}} \right. \left \{ {{y=2-2x,} \atop {x+4-4x-1=0;}} \right. x=1;\, y=0.$
поскольку
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}-\left( \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\right)^2=4-1=3\ \textgreater \ 0$
то в точке (1; 0) - локальный минимум.

Аналогично во втором примере.

Answer 2

Для того чтобы исследовать функции на экстремум, необходимо найти производные функции по переменным x и y, а затем решить систему уравнений, приравняв производные к нулю.

Для первой функции z = x^2 + xy + y^2 - 2x - y + 2: Найдем производные по x и y: dz/dx = 2x + y - 2 dz/dy = x + 2y - 1

Затем приравняем производные к нулю и решим систему уравнений: 2x + y - 2 = 0 x + 2y - 1 = 0

Решив систему уравнений, получим значения переменных x и y, которые будут точками экстремума. После этого можно будет подставить эти значения в исходную функцию z = x^2 + xy + y^2 - 2x - y + 2 и найти значение z в этих точках.

Для второй функции z = x^3 + 3xy^2 - 51x - 24y: Найдем производные по x и y: dz/dx = 3x^2 + 3y^2 - 51 dz/dy = 6xy - 24

Затем приравняем производные к нулю и решим систему уравнений: 3x^2 + 3y^2 - 51 = 0 6xy - 24 = 0

Решив систему уравнений, получим значения переменных x и y, которые будут точками экстремума. После этого можно будет подставить эти значения в исходную функцию z = x^3 + 3xy^2 - 51x - 24y и найти значение z в этих точках.

Надеюсь, это поможет вам решить задачу. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.