Question

Найти дифференциал 2 порядка : у=arctg e^2x​

Answer 1

Надеюсь, что все ясно, но если возникнут вопросы - спрашивайте

Answer 2

Чтобы найти второй порядок дифференциала для функции $y = \arctan(e^{2x})$, мы сначала найдем первый порядок дифференциала, а затем найдем его производную.

Шаг 1: Найдем первый порядок дифференциала.

$$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(\arctan(e^{2x}))$$

Мы можем использовать цепное правило для дифференцирования функции составной переменной. Пусть $u = e^{2x}$, тогда

$$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{du}}(\arctan(u)) \cdot \frac{{du}}{{dx}}$$

Используя формулу для производной арктангенса, $\frac{{d}}{{du}}(\arctan(u)) = \frac{{1}}{{1+u^2}}$, и учитывая, что $\frac{{du}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(e^{2x}) = 2e^{2x}$, мы получаем:

$$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{1}}{{1+e^{4x}}}\cdot 2e^{2x} = \frac{{2e^{2x}}}{{1+e^{4x}}}$$

Шаг 2: Найдем второй порядок дифференциала.

$$\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{2e^{2x}}}{{1+e^{4x}}}\right)$$

Мы снова используем цепное правило. Пусть $v = 2e^{2x}$, тогда

$$\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = \frac{{d}}{{dv}}\left(\frac{{2v}}{{1+v^2}}\right) \cdot \frac{{dv}}{{dx}}$$

Используя правило для дифференцирования частного функций и производную $2e^{2x}$, $\frac{{dv}}{{dx}} = 4e^{2x}$, мы получаем:

$$\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = \frac{{2(1+v^2) - 2v \cdot 2v}}{{(1+v^2)^2}} \cdot 4e^{2x} = \frac{{8(1+v^2) - 8v^2}}{{(1+v^2)^2}} \cdot e^{2x}$$

Заменяя $v$ обратно на $2e^{2x}$, мы получаем:

$$\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = \frac{{8(1+(2e^{2x})^2) - 8(2e^{2x})^2}}{{(1+(2e^{2x})^2)^2}} \cdot e^{2x}$$