Question

Помоги пожалуйста! Немедленно y" - 5y' + 4y = x + 2

Answer 1

Рассмотрите предложенное решение, проверка не проводилась (ответ отмечен цветным).

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является линейным уравнением с постоянными коэффициентами. Для его решения мы можем использовать метод вариации постоянных.

1. Шаг: Найдем общее решение однородного уравнения y" - 5y' + 4y = 0.

Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения будет иметь вид:

r^2 - 5r + 4 = 0,

где r - неизвестная.

Факторизуя характеристическое уравнение, получим:

(r - 4)(r - 1) = 0.

Из этого следует, что r = 4 или r = 1.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = c1 * e^(4x) + c2 * e^(x),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

2. Шаг: Найдем частное решение неоднородного уравнения.

Предположим, что частное решение имеет вид:

y_p = Ax + B,

где A и B - неизвестные коэффициенты.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

(2A - 5A) - 5(B) + 4(Ax + B) = x + 2.

Упростим это уравнение:

(3A + 4B)x + (-5A - 5B) = x + 2.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений:

3A + 4B = 1, (коэффициент при x) -5A - 5B = 2. (свободный член)

Решая эту систему уравнений, находим A = -1/7 и B = 5/7.

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

y_p = (-1/7)x + 5/7.

3. Шаг: Общее решение неоднородного уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (y_h) и частного решения неоднородного уравнения (y_p):

y = y_h + y_p.

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения будет иметь вид:

y = c1 * e^(4x) + c2 * e^(x) + (-1/7)x + 5/7,

где c1 и c2 - произвольные постоянные.