Question

По четырем заданным точкам А1(-2,1,2), А2(4,0,0), А3(3,2,7),А4(1,3,2), построить пирамиду и средствами векторной алгебры и аналитической геометрии найти: 1)Уравнение плоскости проходящей: А) через прямую А2А3 и точку А1, Б) через три точки А2,А3,А4; 2) угол между прямыми А1А2 и А2А4; 3) расстояние от точки А1 до плоскости А2А3А4;

Answer 1

1) Уравнение плоскости проходящей: через прямую А2А3 и точку А1.

Точки: А1(-2,1,2), А2(4,0,0), А3(3,2,7).

Вектор А1А2 = (6; -1; -2), вектор А1А3 = (5; 1; 5).

x + 2      y - 1     z - 2 |      x + 2      y - 1

  6          -1          -2  |         6            -1

  5           1           5  |          5            1   =    

= (x + 2)*(-5) + (y -  1)*(-10) + (z -2)*6 - (y - 1)*30 - (x + 2)*(-2) - (z - 2)*(-5) =

= -5x - 10 - 10y + 10 + 6z - 12 - 30y + 30 + 2x + 4 + 5z - 10 =

= -3x - 40y + 11z + 12.

Получаем уравнение плоскости А1А2А3: -3x - 40y + 11z + 12 = 0.

Б) через три точки А2,А3,А4.

Точки А2(4,0,0), А3(3,2,7),А4(1,3,2).

Вектор А2А3 = (-1; 2; 7), вектор А2А4 = (-3; 3; 2).

Через смешанное векторное произведение (как в пункте А) находим уравнение плоскости А2А3А4:

-17x - 19y + 3z + 68 = 0.

2) угол между прямыми А1А2 и А2А4.

Точки А1(-2,1,2), А2(4,0,0),  А3(3,2,7), А4(1,3,2)

Вектор А1А2 = (6; -1; -2), модуль = √(36+1+4) = √41.

вектор А2А4 = (-3; 3; 2), модуль = √(9+9+4) = √22.

Скалярное произведение равно: -18-3-4 = -25.

cos α = |-25|/(√41*√22) = 0,8324.

α = 0,5874 радиан = 33,653°.

3. Объем пирамиды  

           x y z

A1А2*A1А3 -3 -40   11

   A1А4          3    2   0

Произвед -9 -80    0      Модуль равен 89.

V = (1/6) * 89 =  14,83333333.

4. Длины высот пирамиды   H=3V/Sосн

  Площади граней    

                                a1  a2  a3       S =

ABC [AB ; AC]= -3 -40   11 20,79663434

АВD [AB ; AD]= 4 -6  15 8,321658489

АСD [AC ; AD]= -10 15 7 9,669539803

BCD [BC ; BD]= -17 -19 3 12,83549765

Высота, опущенная на грань А2А3А4 равна:

h = (3*(89/6))/12,835 =  3,466947773 .

 

   

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из пунктов задачи по порядку.

1. Уравнение плоскости:

   а) Плоскость, проходящая через прямую A2A3 и точку A1:

   Найдем направляющий вектор прямой A2A3:

   scssCopy code
   v = A3 - A2 = (3, 2, 7) - (4, 0, 0) = (-1, 2, 7).
   

   Уравнение плоскости можно записать в виде:

   scssCopy code
   n · (r - A1) = 0,
   

   где n - нормальный вектор плоскости, r - произвольная точка на плоскости. Подставляем известные значения:

   scssCopy code
   (-1, 2, 7) · (r - (-2, 1, 2)) = 0,
   (-1)(r - (-2)) + 2(r - 1) + 7(r - 2) = 0,
   -r + 2 + 2r - 2 + 7r - 14 = 0,
   8r = 14,
   r = 7/4.
   

   Получили уравнение плоскости: x = 7/4.

   б) Плоскость, проходящая через три точки A2, A3, A4:

   Найдем два направляющих вектора плоскости, используя векторное произведение:

   makefileCopy code
   v1 = A3 - A2 = (-1, 2, 7),
   v2 = A4 - A2 = (-3, 3, 2).
   

   Нормальный вектор плоскости можно найти как векторное произведение v1 и v2:

   scssCopy code
   n = v1 × v2 = det(i j k; -1 2 7; -3 3 2) = 20i + 19j + 9k.
   

   Теперь уравнение плоскости:

   scssCopy code
   n · (r - A2) = 0,
   (20, 19, 9) · (r - (4, 0, 0)) = 0,
   20(r - 4) + 19r + 9r = 0,
   48r = 80,
   r = 5/3.
   

   Получили уравнение плоскости: 20x + 19y + 9z = 80.

2. Угол между прямыми:

   Найдем направляющие векторы для обеих прямых:

   scssCopy code
   u = A2 - A1 = (4, 0, 0) - (-2, 1, 2) = (6, -1, -2),
   v = A4 - A2 = (1, 3, 2) - (4, 0, 0) = (-3, 3, 2).
   

   Угол между векторами вычисляется по формуле:

   scssCopy code
   cosθ = (u · v) / (||u|| ||v||),
   θ = arccos((u · v) / (||u|| ||v||)).
   

   Подставляем значения:

   scssCopy code
   θ = arccos((6(-3) + (-1)3 + (-2)2) / (sqrt(6^2 + (-1)^2 + (-2)^2) * sqrt((-3)^2 + 3^2 + 2^2))),
   θ ≈ 90.61°.
   

3. Расстояние от точки до плоскости:

   Расстояние d от точки P(x0, y0, z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 вычисляется по формуле:

   cssCopy code
   d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).
   

   Для плоскости A2A3A4:

   scssCopy code
   A = 20, B = 19, C = 9, D = -80, x0 = -2, y0 = 1, z0 = 2.
   d = |20(-2) + 19(1) + 9(2) - 80| / sqrt(20^2 + 19^2 + 9^2),
   d = 1 / sqrt(722).
   

   Таким образом, расстояние от точки A1 до плоскости A2A3A4 ≈ 0.037.

Обратите внимание, что векторы в данном ответе представлены в виде координатных троек (x, y, z).