Question

Y''+y=x³+6x, y(0)=y'(0)=0

Answer 1

Решаем соответствующее однородное дифференциальное уравнение

$y''+y=0$

Пусть $y=e^{kx}$, мы перейдем к характеристическому уравнению

$k^2+1=0\\ k^2=-1\\ k=\pm i$

Общее решение однородного диф. уравнения:

$y^*=C_1\cos x+C_2\sin x$

Найдем частное решение. Рассмотрим функцию $f(x)=e^{0x}(x^3+6x)$. И обозначим $P_n(x)=x^3+6x$ здесь $n=3$ и $\alpha =0$. Сравнивая α с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимая, что n = 3, частное решение будем искать в виде:

$\overline{y}=Ax^3+Bx^2+Cx+D$

Найдем первую и вторую производную

$y'=3Ax^2+2Bx+C\\ y''=6Ax+2B$

Подставляем теперь все это в исходное диф. уравнение

$6Ax+2B+Ax^3+Bx^2+Cx+D=x^3+6x\\ \\ Ax^3+Bx^2+(6A+C)x+2B+D=x^3+6x$

Приравниваем коэффициенты при степенях x

$\begin{cases}&\text{}A=1\\&\text{}B=0\\&\text{}6A+C=6\\&\text{}2B+D=0\end{cases}~~~\Rightarrow~~~\begin{cases}&\text{}A=1\\&\text{}B=0\\&\text{}C=0\\&\text{}D=0\end{cases}$

Частное решение: $\overline{y}=x^3$

Общее решение линейного неоднородного диф. уравнения:

$y=y^*+\overline{y}=C_1\cos x+C_2\sin x+x^3$

$y'=(C_1\cos x+C_2\sin x+x^3)'=-C_1\sin x+C_2\cos x+3x^2$

Найдем частное решение, подставляя начальные условия

$\begin{cases}&\text{}0=C_1\\&\text{}0=C_2\end{cases}$

Ответ: $y=x^3.$

Answer 2

To solve the given ordinary differential equation (ODE), we can use the method of undetermined coefficients, also known as the method of variation of parameters.

Step 1: Find the homogeneous solution: The homogeneous solution is the solution to the ODE when the right-hand side is set to zero (i.e., x^3 + 6x = 0).

The characteristic equation for the homogeneous equation is: r^2 = 0

Solving this equation, we find that the homogeneous solution is: y_h = c1 + c2 * x

Step 2: Find the particular solution: Assume the particular solution has the form: y_p = u(x) * x^3 + v(x) * x

Taking the derivatives of y_p, we have: y_p' = 3u(x) * x^2 + u'(x) * x^3 + v(x) + v'(x) * x y_p'' = 6u(x) * x + 6u'(x) * x^2 + 2u'(x) * x^3 + v'(x) + v''(x) * x

Substituting these derivatives back into the original ODE, we get: 6u(x) * x + 6u'(x) * x^2 + 2u'(x) * x^3 + v'(x) + v''(x) * x + c1 + c2 * x = x^3 + 6x

Matching the coefficients of like terms, we have: 6u(x) * x + v'(x) + c1 = 6x 6u'(x) * x^2 + 2u'(x) * x^3 + v''(x) * x + c2 = x^3

Solving these equations, we find that u(x) = x/2 and v(x) = 3x^2/2.

Therefore, the particular solution is: y_p = (x/2) * x^3 + (3x^2/2) * x = (5x^4/2)

Step 3: Add the homogeneous and particular solutions: The general solution is given by the sum of the homogeneous and particular solutions: y = y_h + y_p = c1 + c2 * x + (5x^4/2)

To find the specific solution satisfying the initial conditions y(0) = 0 and y'(0) = 0, we substitute these values into the general solution:

y(0) = c1 + c2 * 0 + (5 * 0^4/2) = c1 = 0

y'(0) = c2 + (5 * 0^3) = c2 = 0

Therefore, the solution to the given ODE with the given initial conditions is: y = 5x^4/2