Question

Найдите область определения функции f(x)=log 5 (x-6)/(x^2+3x)

Answer 1

Ответ: x∈(-3;0)U(6;+∞).

Пошаговое объяснение:

f(x)=log₅((x-6)/(x₂+3x))

ОДЗ:

(x-6)/(x²+3x)>0

(x-6)/((x*(x+3))>0

x₁=-3      x₂=0       x₃=6

-∞__-__-3__+__0__-__6__+__+∞

x∈(-3;0)U(6;+∞).

Answer 2

Для определения области определения функции f(x) = log₅((x-6)/(x²+3x)), мы должны учесть два фактора:

1. Логарифм должен быть определен. Это означает, что аргумент логарифма (выражение внутри логарифма) должен быть положительным. В данном случае, (x-6)/(x²+3x) должно быть положительным.

2. Знаменатель (x²+3x) не должен быть равен нулю, так как деление на ноль неопределено.

Давайте рассмотрим каждый фактор отдельно:

1. (x-6)/(x²+3x) > 0:

   Нам нужно определить интервалы, на которых данное выражение положительно. Для этого можно использовать метод знаков или таблицу знаков.

   Разложим на множители знаменатель (x²+3x): x(x+3)

   Теперь мы можем построить таблицу знаков:

   	x-6	x	x+3

   +	+	+	+

   Из таблицы знаков видно, что (x-6)/(x²+3x) положительно, когда x < -3 или x > 6.

2. x²+3x ≠ 0:

   Разложим на множители выражение x²+3x: x(x+3)

   Здесь ноль получается при x = 0 или x = -3.

Теперь объединим оба условия:

Область определения функции f(x) = log₅((x-6)/(x²+3x)) будет состоять из всех значений x, для которых оба условия выполнены одновременно:

-3 < x < 0 или x > 6

Таким образом, область определения функции f(x) будет (-3, 0) объединено с (6, +∞).