Question

2. При якому значенні многочлен х³ + 6х²+ах + 5 ділиться без остачі на х²+ х+13. Різниця квадратів двох послідовних натуральних чисел дорівнює 51. Знайти більше число​

Answer 1

2) Представимо вираз у наступному вигляді

$x^3+6x^2+ax+5=x\Big(x^2+x+1\Big)+\Big(5x^2+(a-1)x+5\Big)$

Перший доданок ділиться на $(x^2+x+1)$, а другий доданок буде ділитися на $(x^2+x+1)$ при $a-1=5$ звідси $a=6$.

Отже, при a = 6 многочлен $x^3+6x^2+ax+5$ ділиться на $x^2+x+1$ без остачі.

Відповідь: 6.

3) Нехай два послідовні числа дорівнюють x і (x+1). Тоді складемо рівняння за умовою задачі.

$(x+1)^2-x^2=51\\ \\ (x+1-x)(x+1+x)=51\\ \\ 2x+1=51\\ \\ 2x=50\\ \\x =25$

Отже, шукані числа - 25 і 25 + 1 = 26.

Відповідь: 26.

Answer 2

Для того, щоб многочлен х³ + 6х² + ах + 5 ділився без остачі на х² + х + 13, необхідно, щоб залишок від ділення цих двох многочленів дорівнював нулю. Так як многочлен х² + х + 13 є квадратним, можна скористатися теоремою про ділення многочленів з коефіцієнтами у полі над полем.

Залишок від ділення многочлену х³ + 6х² + ах + 5 на х² + х + 13 можна обчислити, використовуючи довільний метод ділення многочленів, наприклад, метод синтетичного ділення або довге ділення. Але у даному випадку деталі щодо значення параметра "а" не вказані, тому ми не можемо точно визначити, при якому значенні многочлен ділиться без остачі.

Щодо другої частини запитання, необхідно знайти два послідовних натуральних числа, різниця квадратів яких дорівнює 51. Позначимо більше число як "х", тоді менше число буде "х - 1".

За умовою задачі, маємо: х² - (х - 1)² = 51

Розкриємо квадрат: х² - (х² - 2х + 1) = 51

Скоротимо подібні члени: 2х - 1 = 51

Приберемо 1 на один бік: 2х = 52

Розділимо на 2: х = 26

Таким чином, більше число дорівнює 26.