Question

Решить предел(подробнее) Lim(стремится к П/2) (secx - tgx)

Answer 1

$lim_{_{_{x-> \: \frac{\pi}{2}} }}(\sec(x) - \tan(x)) = \\ = ∞ - ∞\\ lim_{_{_{x-> \: \frac{\pi}{2}} }} (\frac{1}{ \cos(x)} - \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } ) \: =$

$= lim_{_{_{x-> \: \frac{\pi}{2}} }} \frac{1 - \sin(x) }{ \cos(x) } = \frac{0}{0}$

Используем правило Лопиталя

$= lim_{_{_{x-> \: \frac{\pi}{2}} }} \frac{ - \cos(x) }{ - \sin(x) } = \frac{0}{1} = 0$

Answer 2

Для решения данного предела, давайте воспользуемся определением функций sec(x) и tg(x) в терминах функций sin(x) и cos(x).

Функция sec(x) определяется как 1/cos(x), а функция tg(x) определяется как sin(x)/cos(x).

Теперь мы можем переписать наш предел в следующем виде:

Lim(x стремится к П/2) (sec(x) - tg(x))

= Lim(x стремится к П/2) (1/cos(x) - sin(x)/cos(x))

Общий знаменатель позволяет нам объединить два слагаемых:

= Lim(x стремится к П/2) (1 - sin(x))/cos(x)

Мы можем продолжить упрощение, разложив числитель в разности произведения и частного:

= Lim(x стремится к П/2) (1 - sin(x))/cos(x) * (1 + sin(x))/(1 + sin(x))

= Lim(x стремится к П/2) (1 - sin^2(x))/(cos(x) * (1 + sin(x)))

= Lim(x стремится к П/2) cos^2(x)/(cos(x) * (1 + sin(x)))

= Lim(x стремится к П/2) cos(x)/(1 + sin(x))

Теперь, для определения предела воспользуемся тригонометрической идентичностью: cos(П/2 - x) = sin(x).

Тогда наш предел может быть записан следующим образом:

= Lim(x стремится к П/2) cos(x)/(1 + sin(x))

= Lim(x стремится к П/2) cos(П/2 - x)/(1 + sin(x))

Теперь мы видим, что при x, стремящемся к П/2, выражение cos(П/2 - x) стремится к 0, а выражение (1 + sin(x)) стремится к 1 + 1 = 2.

Итак, предел равен:

= 0/2

= 0

Таким образом, Lim(x стремится к П/2) (sec(x) - tg(x)) равен 0.