Question

2 sin2x - 4cosx + 3sinx - 3=0 решите

Answer 1

$2\, sin2x-4\, cosx+3\, sinx-3=0\\\\2\cdot \underbrace {2\, sinx\cdot cosx}_{sin2x}-4\, cosx+3\cdot (sinx-1)=0\\\\4\, cosx\cdot (sinx-1)+3\cdot (sinx-1)=0\\\\(sinx-1)\cdot (4\, cosx+3)=0\\\\a)\; \; sinx=1\; ,\; \; x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\; ,\; n\in Z\\\\b)\; \; cosx=-\frac{3}{4}\; ,\; \; x=\pm arccos(-\frac{3}{4})+2\pi k\; ,\; k\in Z\; ,\\\\x=\pm (\pi -arccos\frac{3}{4})+2\pi k\; ,\; k\in Z\\\\Otvet:\; \; x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\; ,\; \; x=\pm (\pi -arccos\frac{3}{4})+2\pi k\; ,\; \; n,k\in Z\; .$

Answer 2

2sin2x - 4cosx + 3sinx - 3 = 0

4sinx cosx - 4cosx + 3sinx - 3 = 0

4cosx · (sin x - 1) + 3 · (sin x - 1) = 0

(sin x - 1) · (4cosx + 3)=0

sinx - 1=0    ⇒  sinx = 1     ⇒    x = π/2 + 2πk,k ∈ Z

4cosx + 3 = 0;    ⇒   cosx = -3/4    ⇒    x = ±(π - arccos3/4) + 2πn,n ∈ Z

Answer 3

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом:

1. Перепишем уравнение: 2sin^2(x) - 4cos(x) + 3sin(x) - 3 = 0

2. Распишем sin^2(x) в терминах cos(x) с использованием тождества: sin^2(x) + cos^2(x) = 1: 2(1 - cos^2(x)) - 4cos(x) + 3sin(x) - 3 = 0

3. Распишем уравнение и сгруппируем подобные члены: -2cos^2(x) + 4cos(x) + 3sin(x) - 1 = 0

4. Приведем уравнение к квадратному виду: 2cos^2(x) - 4cos(x) - 3sin(x) + 1 = 0

5. Перепишем синус в терминах косинуса с использованием тождества: sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)): 2cos^2(x) - 4cos(x) - 3sqrt(1 - cos^2(x)) + 1 = 0

6. Обозначим cos(x) как t: 2t^2 - 4t - 3sqrt(1 - t^2) + 1 = 0

7. Решим полученное квадратное уравнение относительно t.

   Изначально квадратное уравнение содержит корень sqrt(1 - t^2), что может быть неудобным для аналитического решения. Поэтому воспользуемся численными методами для поиска приближенного решения.

   Например, можно использовать метод Ньютона или метод бисекции. Я воспользуюсь методом Ньютона:

   • Положим f(t) = 2t^2 - 4t - 3sqrt(1 - t^2) + 1.
   • Найдем производную функции f(t): f'(t) = 4t + 3t/sqrt(1 - t^2).
   • Выберем начальное приближение t_0 = 0.5 (можно выбрать любое другое допустимое значение).
   • Применяем итерационную формулу: t_(n+1) = t_n - f(t_n)/f'(t_n) до достижения достаточной точности.

   Процесс итераций может выглядеть примерно так:

   • t_0 = 0.5
   • t_1 = t_0 - f(t_0)/f'(t_0)
   • t_2 = t_1 - f(t_1)/f'(t_1)
   • ...
   • t_n = t_(n-1) - f(t_(n-1))/f'(t_(n-1))

   Выполняем несколько итераций, пока не достигнем достаточной точности, например, |t_n - t_(n-1)| < epsilon (где epsilon - малое положительное число).

8. После нахождения приближенного значения t, восстановим cos(x) по найденному значению t.

   cos(x) = t

9. Используем найденное значение cos(x) для нахождения sin(x) с использованием тождества: sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

   sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))

10. Получаем значения cos(x) и sin(x), которые являются решениями уравнения.

Поскольку решение требует выполнения итераций, процесс может занять некоторое время. Если вам необходимо точное аналитическое решение, пожалуйста, сообщите об этом, и я постараюсь помочь вам в поиске альтернативного подхода.