Question

По цели производится 3 выстрела с вероятностью попадания 0.2 при каждом. Вероятность поражения цели при одном попадании равна 0.3, при двух попаданиях – 0.6, при трех – 0.9. Найти вероятность того, что цель уничтожена, вероятность того, что было одно попадание, если известно, что цель поражена?

Answer 1

Вероятность 3 попаданий в цель

P(3) = p^3= 0.2^3 = 0.008

Двух

P(2) = C(3;2)* p^2*q = 3 * 0.2^2*0.8 = 0.096

Одного

P(1) = C(3;1) *p * q^2 = 3*0.2*0.8^2 = 0.384

Вероятность поражения цели по формуле полной вероятности

P(П) = P(3) * 0.9 + P(2) * 0.6 + P(1) * 0.3 = 0.008*0.9 + 0.096*0.6  +  0.384 *0.3 = 0.18

По формуле Байеса вероятность одного попадания при условии поражения цели равна

P (1 | П ) = P ( П | 1 ) * P ( 1 ) / P (П ) =  0.3 * 0. 384 / 0.18 =  0.64

Answer 2

Давайте разобьем эту задачу на две части.

1. Найдем вероятность того, что цель будет уничтожена.

Вероятность уничтожения цели состоит из трех возможных случаев:

• Цель уничтожена при одном попадании и двух промахах.
• Цель уничтожена при двух попаданиях и одном промахе.
• Цель уничтожена при трех попаданиях без промахов.

Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.2, а вероятность промаха равна 1 - 0.2 = 0.8.

Вероятность уничтожения цели при одном попадании и двух промахах: P(1 попадание, 2 промаха) = 0.2 * 0.8 * 0.8 = 0.128

Вероятность уничтожения цели при двух попаданиях и одном промахе: P(2 попадания, 1 промах) = 0.2 * 0.2 * 0.8 = 0.032

Вероятность уничтожения цели при трех попаданиях без промахов: P(3 попадания) = 0.2 * 0.2 * 0.2 = 0.008

Теперь суммируем эти вероятности: P(уничтожение цели) = P(1 попадание, 2 промаха) + P(2 попадания, 1 промах) + P(3 попадания) = 0.128 + 0.032 + 0.008 = 0.168

Таким образом, вероятность уничтожения цели составляет 0.168.

2. Найдем вероятность того, что было одно попадание, если известно, что цель поражена.

Мы знаем, что цель поражена. Давайте найдем вероятность, что цель была поражена при одном попадании и двух промахах.

Вероятность поражения цели при одном попадании и двух промахах: P(1 попадание, 2 промаха, цель поражена) = P(1 попадание, 2 промаха) * P(цель поражена | 1 попадание, 2 промаха)

Мы уже рассчитали P(1 попадание, 2 промаха) равной 0.128. Теперь осталось найти P(цель поражена | 1 попадание, 2 промаха).

P(цель поражена | 1 попадание, 2 промаха) = P(1 попадание, 2 промаха, цель поражена) / P(1 попадание, 2 промаха)

Вероятность поражения цели при одном попадании равна 0.3.

P(цель поражена | 1 попадание, 2 промаха) = 0.3

Таким образом, вероятность того, что было одно попадание, если известно, что цель поражена, составляет 0.3.