Question

Доказать что уравнение 16x^4-64x+31=0 не имеет двух различных действительных корня на интервале(0,1)

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Введем такую функцию f(x) = 16x^4 - 64x + 31. Теперь нужно доказать что f (x) проходит через ось Х на интервале (0:1) не больше 1 раза.

Найдём f'(x) = 64x^3 - 64. Найдём где функция убывает и возрастает. То есть нужно прировнять к 0 производную. 64x^3 - 64 = 0

x = 1.

То есть до точки 1 функция убывает, а после возрастает -> функция непрерывна поэтому максимум 1 точка пересечения с осью оХ на интервале (0;1)

Если интересно узнать имеет ли хоть 1 корень то нужно узнать f (0) = 31 и f (1) < 0 -> имеет точку пересечения

Answer 2

Для доказательства, что уравнение 16x^4 - 64x + 31 = 0 не имеет двух различных действительных корней на интервале (0, 1), мы можем использовать теорему о знаке исследуемых функций.

Для начала, найдем производную данного уравнения:

f(x) = 16x^4 - 64x + 31 f'(x) = 64x^3 - 64

Затем найдем вторую производную:

f''(x) = 192x^2

На интервале (0, 1) функция f''(x) всегда положительна, так как x^2 всегда положительно на данном интервале.

Теперь рассмотрим знаки производных f'(x) на интервале (0, 1):

Для x < 1, f'(x) = 64x^3 - 64. Подставим x = 0.5: f'(0.5) = 64*(0.5)^3 - 64 = -8 < 0

Таким образом, f'(x) < 0 для x < 1. Это означает, что функция f(x) убывает на интервале (0, 1).

Теперь рассмотрим знаки самой функции f(x):

Для x < 1, подставим x = 0.5: f(0.5) = 16*(0.5)^4 - 64*(0.5) + 31 = 1 - 32 + 31 = 0

Заметим, что f(0.5) = 0, то есть функция f(x) меняет знак с отрицательного на положительный на интервале (0, 1).

Теперь мы можем применить теорему о знаке исследуемых функций: если функция убывает на интервале и меняет знак, то у нее есть ровно один корень на этом интервале. Следовательно, у уравнения 16x^4 - 64x + 31 = 0 на интервале (0, 1) есть ровно один действительный корень.

Таким образом, уравнение 16x^4 - 64x + 31 = 0 не имеет двух различных действительных корней на интервале (0, 1).