Question

Покажите,что n⁴+4 является составным при любом натуральном n,большем единицы

Answer 1

Ответ:

Доказательство.

Разложим на множители:

n⁴+4=n⁴+4·n²+4-4·n²=(n²+2)²-4·n²=(n²-2·n+2)·(n²+2·n+2)

При любом n>1 второй множитель (n²+2·n+2)>2.

Рассмотрим первый множитель:

n²-2n+2=n²-2n+1+1=(n-1)²+1

При n>1 выражение (n-1)²>1 и поэтому (n-1)²+1 >2.

Так как оба множители больше 2, то число n⁴+4 составное!

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $n^4 + 4$ является составным числом для любого натурального числа $n$, большего единицы, мы можем воспользоваться факторизацией.

Применим идентичность разности кубов: $n^4 + 4 = (n^2 + 2n + 2)(n^2 - 2n + 2)$

Мы получили разложение $n^4 + 4$ на два множителя. Заметим, что оба множителя больше 1, поскольку $n$ является натуральным числом, большим единицы. Следовательно, $n^4 + 4$ представляет собой произведение двух чисел, оба из которых больше 1, что означает, что оно является составным числом.

Таким образом, мы доказали, что $n^4 + 4$ является составным числом при любом натуральном $n$, большем единицы.