Question

Решить уравнение : cos(2x+П/4)=√2\2

Answer 1

Ответ:

$x = \frac{7\pi}{8} + k\pi$

k принадлежит z

Пошаговое объяснение:

1) Выполнить деление:

$\cos(2x + \frac{\pi}{4} ) = \sqrt{1}$

2) Вычислить корень:

$\cos(2x + \frac{\pi}{4} ) = 1$

3) Решить уравнение:

$2x + \frac{\pi}{4} = 2k\pi$

k принадлежит z

4) Перенести константу в правую часть уравнения:

$2x = - \frac{\pi}{4} + 2k\pi$

k принадлежит z

5) Разделить обе части уравнения на 2:

$x = - \frac{\pi}{8} + k\pi$

k принадлежит z

6) Найти наименьший положительный угол:

$x = \frac{7\pi}{8}k\pi$

k принадлежит z

Answer 2

Для решения уравнения cos(2x + π/4) = √2/2, мы будем использовать тригонометрические тождества, чтобы привести уравнение к более простому виду.

1. Тождество: cos(π/4) = √2/2
2. Тождество: cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1

Теперь решим уравнение:

cos(2x + π/4) = √2/2

Подставим второе тождество в уравнение:

2cos^2(2x + π/4) - 1 = √2/2

Удвоим угол:

2cos^2(2x + π/4) - 1 = cos(2(2x + π/4))

Теперь заменим cos(2(2x + π/4)) на cos(4x + π/2) с использованием тождества: cos(θ + π/2) = -sin(θ)

2cos^2(2x + π/4) - 1 = -sin(4x + π/2)

Теперь заменим sin(4x + π/2) на cos(4x) с использованием тождества: sin(θ + π/2) = cos(θ)

2cos^2(2x + π/4) - 1 = -cos(4x)

Теперь используем тождество для cos(2θ):

cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1

2cos^2(2x + π/4) - 1 = 2cos^2(2x) - 1

Теперь у нас есть уравнение:

2cos^2(2x) - 1 = -cos(4x)

Теперь заменим cos(4x) на 2cos^2(2x) - 1:

2cos^2(2x) - 1 = - (2cos^2(2x) - 1)

Теперь решим уравнение относительно cos(2x):

2cos^2(2x) - 1 + 2cos^2(2x) - 1 = 0

4cos^2(2x) - 2 = 0

Теперь разделим обе части на 2:

2cos^2(2x) - 1 = 0

cos^2(2x) = 1/2

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

cos(2x) = ±√(1/2)

cos(2x) = ± √2/2

Теперь решим для x:

1. cos(2x) = √2/2

Находим обратный косинус:

2x = π/4 + 2πk (k - целое число)

x = (π/4 + 2πk)/2

x = π/8 + πk (k - целое число)

2. cos(2x) = -√2/2

Находим обратный косинус:

2x = 3π/4 + 2πm (m - целое число)

x = (3π/4 + 2πm)/2

x = 3π/8 + πm (m - целое число)

Таким образом, получаем два набора решений:

1. x = π/8 + πk, где k - целое число.

2. x = 3π/8 + πm, где m - целое число.