Question

Ctg^2x-5ctg-6=0 решите пожалуйста

Answer 1

$ctg^2x-5ctgx-6=0\\ctgx=t,\;ctg^2x=t^2\\t^2-5t-6=0\\D=25-4\cdot1\cdot(-6)=25+24=49\\t_{1,2}=\frac{5\pm7}2\\t_1=-1,\;t_2=6\\\\ctgx=-1\Rightarrow x=\frac{3\pi}4+\pi n\\ctg x=4\Rightarrow x=arcctg(6)+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Данное уравнение является трансцендентным и не может быть решено аналитически с помощью элементарных функций. Однако, мы можем привести его к уравнению, которое можно численно решить.

Давайте заменим ctg(x) на 1/tan(x):

ctg^2(x) - 5ctg(x) - 6 = 0

(1/tan(x))^2 - 5(1/tan(x)) - 6 = 0

Теперь умножим всё уравнение на (tan(x))^2, чтобы избавиться от знаменателя:

1 - 5tan(x) - 6(tan(x))^2 = 0

Далее, обозначим (tan(x))^2 как t:

6t^2 + 5t - 1 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно переменной t. Мы можем решить его с помощью квадратного уравнения или численных методов.

Используя квадратное уравнение, мы находим два значения для t:

t1 = (-5 + sqrt(5^2 - 4 * 6 * (-1))) / (2 * 6) t2 = (-5 - sqrt(5^2 - 4 * 6 * (-1))) / (2 * 6)

t1 ≈ 0.276 t2 ≈ -1.094

Теперь найдем обратную тангенс функцию для каждого значения t:

tan(x1) ≈ sqrt(0.276) tan(x2) ≈ sqrt(-1.094)

Так как тангенс имеет период π, мы можем добавить любое кратное π к каждому решению. Таким образом, окончательное решение будет иметь вид:

x1 ≈ atan(sqrt(0.276)) + k * π, где k - целое число x2 ≈ atan(sqrt(-1.094)) + k * π, где k - целое число

Обратите внимание, что значение t2 отрицательное, что означает, что нет действительных решений для x2, так как тангенс не определен для отрицательных значений.