Question

Дискретная случайная величина Е задана следующим законом распределения Е(4,6,10,12) Р(0,4;0,1;0,2;0,3) найти математическое ожидание, дисперсию, и среднее квадратическое отклонение

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

вероятностей pi=P(X=xi)

p

i

=

P

(

X

=

x

i

)

. Количество значений случайной величины может быть конечным или счетным. Для определенности будем рассматривать случай i=1,n⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

i

=

1

,

n

¯

. Тогда табличное представление дискретной случайной величины имеет вид:

Xipix1p1x2p2……xnpn

X

i

x

1

x

2

…

x

n

p

i

p

1

p

2

…

p

n

При этом выполняется условие нормировки: сумма всех вероятностей должна быть равна единице

∑i=1npi=1

∑

i

=

1

n

p

i

=

1

Графически ряд распределения можно представить полигоном распределения (или многоугольником распределения). Для этого на плоскости откладываются точки с координатами (xi,pi)

(

x

i

,

p

i

)

и соединяются по порядку ломаной линией. Подробные примеры вы найдете ниже.

Числовые характеристики ДСВ

Математическое ожидание:

M(X)=∑i=1nxi⋅pi

M

(

X

)

=

∑

i

=

1

n

x

i

⋅

p

i

Дисперсия:

D(X)=M(X2)−(M(X))2=∑i=1nx2i⋅pi−(M(X))2

D

(

X

)

=

M

(

X

2

)

−

(

M

(

X

)

)

2

=

∑

i

=

1

n

x

i

2

⋅

p

i

−

(

M

(

X

)

)

2

Среднее квадратическое отклонение:

σ(X)=D(X)‾‾‾‾‾√

σ

(

X

)

=

D

(

X

)

Коэффициент вариации:

V(X)=σ(X)M(X)

V

(

X

)

=

σ

(

X

)

M

(

X

)

.

Мода: значение Mo=xk

M

o

=

x

k

с наибольшей вероятностью pk=maxipi

p

k

=

max

i

p

i

.

Вы можете использовать онлайн-калькуляторы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения ДСВ.

Функция распределения ДСВ

По ряду распределения можно составить функцию распределения дискретной случайной величины F(x)=P(X<x)

F

(

x

)

=

P

(

X

<

x

)

. Эта функция задает вероятность того, что случайная величина X

X

примет значение меньшее некоторого числа

Answer 2

Для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины, нужно использовать следующие формулы:

1. Математическое ожидание (среднее значение): E(X) = Σ(xi * pi), где xi - значения случайной величины, pi - соответствующие вероятности.

2. Дисперсия: Var(X) = Σ((xi - E(X))^2 * pi), где xi - значения случайной величины, pi - соответствующие вероятности, E(X) - математическое ожидание.

3. Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение): SD(X) = √Var(X), где Var(X) - дисперсия.

По данному закону распределения: X: 4 6 10 12 P(X): 0.4 0.1 0.2 0.3

Выполним вычисления:

1. Математическое ожидание: E(X) = (4 * 0.4) + (6 * 0.1) + (10 * 0.2) + (12 * 0.3) E(X) = 1.6 + 0.6 + 2 + 3.6 E(X) = 8.8

2. Дисперсия: Var(X) = ((4 - 8.8)^2 * 0.4) + ((6 - 8.8)^2 * 0.1) + ((10 - 8.8)^2 * 0.2) + ((12 - 8.8)^2 * 0.3) Var(X) = (17.64 * 0.4) + (7.84 * 0.1) + (1.44 * 0.2) + (3.24 * 0.3) Var(X) = 7.056 + 0.784 + 0.288 + 0.972 Var(X) = 9.1

3. Среднее квадратическое отклонение: SD(X) = √Var(X) SD(X) = √9.1 SD(X) = 3.01 (округляем до двух знаков)

Таким образом, математическое ожидание равно 8.8, дисперсия равна 9.1, а среднее квадратическое отклонение равно около 3.01.