Question

Используя признак Даламблера, исследовать сходимость последовательности. ​

Answer 1

Ответ: во вложении Пошаговое объяснение:

Answer 2

Признак Даламбера, также известный как признак сходимости Даламбера, используется для исследования сходимости положительных последовательностей. Он формулируется следующим образом:

Пусть есть последовательность положительных чисел {a_n}. Если существует такое число q (0 ≤ q < 1), что для всех достаточно больших n выполнено неравенство:

(a_{n+1} / a_n) ≤ q,

тогда последовательность {a_n} сходится. Если такое число q не существует, то последовательность расходится.

Давайте рассмотрим пример последовательности и применим признак Даламбера для исследования ее сходимости.

Пусть у нас есть последовательность {a_n} = (1/n^2). Для исследования ее сходимости с помощью признака Даламбера, мы рассмотрим отношение соседних членов последовательности:

(a_{n+1} / a_n) = ((1/(n+1)^2) / (1/n^2)) = (n^2 / (n+1)^2).

Для удобства, мы можем разделить числитель и знаменатель на n^2:

(n^2 / (n+1)^2) = (1 / (1 + 1/n)^2).

Поскольку n > 0, мы можем утверждать, что (1 + 1/n) > 1, а значит, (1 + 1/n)^2 > 1. То есть:

(1 / (1 + 1/n)^2) < 1.

Таким образом, мы можем выбрать q = 1, и для всех n выполнено:

((1/(n+1)^2) / (1/n^2)) = (n^2 / (n+1)^2) ≤ q.

Следовательно, по признаку Даламбера, последовательность {a_n} = (1/n^2) сходится.

Таким образом, мы использовали признак Даламбера для исследования сходимости последовательности и показали, что данная последовательность сходится.