Question

Найдите все целочисленные пары решений уравнения:x²-xy+y²=7∑[x]=∑[y]=

Answer 1

Выделим полный квадрат в левой части уравнения

$x^2-xy+y^2=7\\ \\ \Big(y-\dfrac{x}{2}\Big)^2=7-\dfrac{3x^2}{4}\\ \\ y=\dfrac{x}{2}\pm\sqrt{7-\dfrac{3x^2}{4}}$

Путём подбора находим целочисленные решения

$x=-3;~~y=-2\\ x=-3;~~ y=-1\\ x=-2;~~ y=-3\\ x=-2;~~ y=1\\ x=-1;~~y=-3$

$y=1;~~ x=2\\ y=2;~~ x=-1\\ y=2;~~ x=3\\ y=3;~~ x=1\\ y=3;~~ x=2$

$y=-1;~~x=2$

$y=-2;~~ x=1$

$\displaystyle \sum y=-3-3-2-2-1-1+1+1+2+2+3+3=0\\ \\ \sum x=-2-1-3+1-3+2-2+3-1+3+1+2=0$

Answer 2

Для нахождения всех целочисленных пар решений уравнения x² - xy + y² = 7, где ∑[x] и ∑[y] обозначают суммы целых чисел x и y соответственно, нам следует проанализировать возможные значения x и y.

Перепишем уравнение в виде:

x² - xy + y² - 7 = 0

Теперь давайте рассмотрим возможные комбинации значений x и y, чтобы уравнение было удовлетворено.

1. Если x = 0, то y² - 7 = 0. Отсюда, y² = 7, что не имеет целочисленных решений.

2. Если y = 0, то x² - 7 = 0. Отсюда, x² = 7, что также не имеет целочисленных решений.

3. Если x = y, то уравнение примет вид: x² - x² + x² - 7 = 0. Отсюда x² = 7, что также не имеет целочисленных решений.

4. Если x = -y, то уравнение примет вид: x² + xy + x² - 7 = 0. Отсюда 2x² + xy - 7 = 0. Находим целочисленные значения x, которые удовлетворяют этому уравнению:

   • x = 1, y = -1;
   • x = 3, y = -3.

Таким образом, целочисленными решениями уравнения являются пары (1, -1) и (3, -3).