Question

Визначте ймовірність одночасної зупинки 30 машин із 100 працюючих, якщо ймовірність зупинки однієї машинки 0,2

Answer 1

Імовірність зупинки однієї машинки p = 0,2 , тоді відповідна імовірність протилежної події q = 1 - p = 0,8. За теоремою Бернуллі

$P(\xi=30)=C^{30}_{100}p^{30}q^{70}=\dfrac{100!}{30!70!}0{,}2^{30}0{,}8^{70}\approx0{,}0052$

Answer 2

Для визначення ймовірності одночасної зупинки 30 машин із 100 працюючих, за допомогою ймовірності зупинки однієї машинки, можемо використати біноміальний розподіл.

Біноміальний розподіл описує ймовірність успіху в серії незалежних подій, де кожна подія має два можливих результати (успіх або невдача) і ймовірність успіху залишається постійною для кожної події.

Формула для біноміального розподілу:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

де:

• P(X = k) - ймовірність того, що станеться k успіхів у n спробах
• C(n, k) - кількість комбінацій n по k
• p - ймовірність успіху у одній спробі
• n - кількість спроб (кількість машин)
• k - кількість успіхів (кількість машин, які зупинилися)

В даному випадку, p = 0,2 (ймовірність зупинки однієї машинки), n = 100 (кількість працюючих машин) і k = 30 (кількість машин, які зупинилися).

Знайдемо ймовірність P(X = 30):

P(X = 30) = C(100, 30) * 0,2^30 * (1 - 0,2)^(100 - 30)

C(100, 30) - кількість комбінацій 100 по 30, обчислімо її: C(100, 30) = 100! / (30! * (100 - 30)!) = 29,097,792,060

Тепер підставимо значення в формулу:

P(X = 30) = 29,097,792,060 * 0,2^30 * 0,8^70 ≈ 0,0376 або 3,76%

Отже, ймовірність того, що одночасно зупиняться рівно 30 машин із 100 працюючих при ймовірності зупинки однієї машинки 0,2, становить приблизно 3,76%.