Question

Постройте график функции с полным исследованием функции у=f(х). у=х3+3х2-24х+28

Answer 1

Ответ:

==================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для построения графика функции и проведения полного исследования, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции и точки её экстремумов.
3. Найти точки пересечения с осями координат.
4. Исследовать поведение функции в окрестности точек экстремумов и разрывов.
5. Найти точки перегиба функции, если они есть.
6. Нарисовать график функции на основе полученной информации.

Давайте по порядку выполним каждый из этих шагов.

1. Область определения функции: Функция у=х^3+3х^2-24х+28 определена для всех действительных чисел х, так как уравнение многочлена имеет смысл для всех х.

2. Найдем производную функции и точки её экстремумов: Найдем производную функции у по х: у' = 3х^2 + 6х - 24. Чтобы найти точки экстремумов, приравняем производную к нулю и решим уравнение: 3х^2 + 6х - 24 = 0. Решая это уравнение, получим х = -4 и х = 2. Теперь найдем значения у в этих точках: у(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 24(-4) + 28 = -64 + 48 + 96 + 28 = 108. у(2) = 2^3 + 3(2)^2 - 24(2) + 28 = 8 + 12 - 48 + 28 = 0. Таким образом, у(-4) = 108 - локальный максимум, а у(2) = 0 - локальный минимум.

3. Точки пересечения с осями координат: Для этого найдем у при х = 0: у(0) = 0^3 + 3(0)^2 - 24(0) + 28 = 28. Точка пересечения с осью ординат: (0, 28).

4. Поведение функции в окрестности точек экстремумов и разрывов: Мы уже нашли, что у(-4) = 108 и у(2) = 0. Также, у функции нет разрывов, так как она является многочленом.

5. Точки перегиба функции: Для этого найдем вторую производную функции у: у'' = 6х + 6. Точка перегиба находится там, где у'' = 0: 6х + 6 = 0. Решая уравнение, получим х = -1. Теперь найдем значение у в этой точке: у(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 24(-1) + 28 = -1 + 3 + 24 + 28 = 54. Таким образом, точка перегиба: (-1, 54).

6. График функции: Теперь, имея всю необходимую информацию, мы можем построить график функции:

График:

markdownCopy code
  ^
y |
  |
  |             *
  |            *
  |           *
  |          * 
  |         *
  |       * *
  |    *      *
  | *           *
  |__________________________>
            x

Обратите внимание, что график проходит через точку пересечения с осью ординат (0, 28), имеет локальный максимум в точке (-4, 108), локальный минимум в точке (2, 0) и точку перегиба (-1, 54). Также, поскольку функция является многочленом, она непрерывна на всей числовой прямой.