Question

Решить уравнение: 3tgx + tg3x = 0 (Если можно, ответ через арктангенс)

Answer 1

Решение : //////////////////////////

Answer 2

Сразу рассмотрим случай $\tan x =0$;

Тогда видно, что $x=\pi k$ является решением.

Теперь $\tan x\neq0$;

Разделим обе части на $\tan x$:

$\frac{\tan3x}{\tan x}=-3\Leftrightarrow \frac{\tan 3x+\tan x}{\tan x}=-2$; Воспользуемся формулой суммы тангенсов:

$\frac{\sin4x}{\cos3x\cos x}\times \frac{\cos x}{\sin x}=-2\Leftrightarrow \frac{\sin4x}{\cos3x\sin x} =-2$;

Но $\cos3x\sin x=\frac{1}{2}(\sin(-2x)+\sin4x)$; Подставляя это в уравнение, получаем: $\frac{\sin4x}{-\sin2x+\sin4x}=-1\Rightarrow \sin4x=\sin2x-\sin4x\Leftrightarrow 2\sin4x=\sin2x$;

Ну и заключительный этап:

$4\sin2x\cos2x=\sin2x\Leftrightarrow \sin2x(4\cos2x-1)=0$, откуда получаем:

$x=\pi t/2,\; \pm0.5\arccos(1/4)+\pi z$; Запишем ответ (переведя арккосинус в арктангенс):

$x=\pi k,\\ x=\frac{\pi t}{2},\\ x=\pm0.5\arctan\sqrt{15}+\pi z,\; k,t,z\in\mathbb{Z}$

Answer 3

Чтобы решить уравнение $3\tan(x) + \tan(3x) = 0$ с использованием арктангенса, следует преобразовать уравнение и затем воспользоваться свойствами тригонометрии и арктангенса.

1. Преобразование уравнения:

Используем тригонометрические тождества: $\tan(3x) = \tan(2x + x) = \frac{\tan(2x) + \tan(x)}{1 - \tan(2x)\tan(x)}.$

Теперь уравнение примет вид: $3\tan(x) + \frac{\tan(2x) + \tan(x)}{1 - \tan(2x)\tan(x)} = 0.$

2. Замена переменной:

Обозначим $\tan(x)$ за $t$, а $\tan(2x)$ за $u$. Тогда уравнение примет вид: $3t + \frac{u + t}{1 - ut} = 0.$

3. Решение уравнения:

Теперь решим уравнение относительно $u$: $3t + \frac{u + t}{1 - ut} = 0.$

Раскроем скобку: $3t + \frac{u + t}{1 - ut} = 0 \implies 3t + \frac{u + t}{1 - ut} = 0.$

Переместим слагаемое с $u$ на другую сторону: $3t(1 - ut) + u + t = 0.$

Раскроем скобку: $3t - 3tut + u + t = 0.$

Группируем слагаемые с $u$: $u - 3tut + u + t = 0.$

Упростим: $2u - 3tut + t = 0.$

Теперь решим уравнение относительно $u$: $u(2 - 3t^2) + t = 0.$

Выразим $u$: $u = \frac{-t}{2 - 3t^2}.$

4. Обратная замена:

Теперь выразим $t$ через $x$: $t = \tan(x).$

Используем арктангенс для выражения $x$: $x = \arctan(t).$

5. Нахождение $t$ и $x$:

Теперь, чтобы найти значения $t$ и $x$, подставим выражение для $u$ в исходное уравнение $3\tan(x) + \tan(3x) = 0$:

$3\tan(x) + \frac{\tan(2x) + \tan(x)}{1 - \tan(2x)\tan(x)} = 0.$

$3\tan(x) + \frac{\tan(x) + \tan(x)}{1 - \tan(x)\tan(x)} = 0.$

$3\tan(x) + \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)} = 0.$

$3\tan(x) + \frac{2\tan(x)}{\sec^2(x) - \tan^2(x)} = 0.$

$3\tan(x) + \frac{2\tan(x)}{\frac{1}{\cos^2(x)} - \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}} = 0.$

$3\tan($