Question

В треугольнике АВС со сторонами АВ=6 см, АС=8 см и ВС=10 см точка М - середина стороны ВС. Четырехугольник AMDE - квадрат. Отрезки АС и MD пересекаются в точке F. Чему равна площадь четырехугольника AFDE?

Answer 1

Ответ:    125/8 см²

Пошаговое объяснение:

Треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см - прямоугольный, так как по теореме, обратной теореме Пифагора

10² = 6² + 8²

Медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы,

АМ = ВС/2 = 5 см

Чтобы найти площадь четырехугольника AFDE, надо из площади квадрата AMDE вычесть площадь треугольника AMF.

Из ΔАВС:

  cos∠C = AC / BC = 8/10 = 4/5

Пусть FC = х, тогда АС = 8 - х.

Из ΔFCM по теореме косинусов:

MF² = MC² + FC² - 2·MC·FC·cos∠C

MF² = 25 + x² - 2 · 5 · x · 4/5 = x² - 8x + 25

Из прямоугольного треугольника AMF по теореме Пифагора составим уравнение:

AM² + MF² = AF²

25 + x² - 8x + 25 = (8 - x)²

x² - 8x + 50 = 64 - 16x + x²

8x = 14

x = 7/4

$MF=\sqrt{x^{2}-8x+25}=\sqrt{(\frac{7}{4})^{2}-8\cdot \frac{7}{4}+25}$

$MF=\sqrt{\frac{49}{16}-14+25}=\sqrt{\frac{49}{16}+11}=\sqrt{\frac{49+176}{16}}=\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}$

Samf = 1/2 · AM · MF = 1/2 · 5 · 15/4 = 75/8 см²

Safde = Samde - Samf = AM² - Samf = 25 - 75/8 = 125/8 см²

Answer 2

Чтобы вычислить площадь четырехугольника AFDE, сначала найдем координаты точки F, а затем определим длину отрезка AF. После этого можно будет вычислить площадь четырехугольника AFDE.

Шаг 1: Найдем координаты точки F. Пусть точка A имеет координаты (0, 0), тогда точка M, как середина стороны ВС, будет иметь координаты (10/2, 0) = (5, 0).

Так как АС и MD пересекаются в точке F, мы можем найти уравнения прямых, содержащих эти отрезки, и найти их точку пересечения.

Уравнение прямой АС: Учитывая, что A(0,0) и C(8,0), уравнение будет иметь вид y = 0.

Уравнение прямой MD: Учитывая, что M(5,0) и D(x,y), прямая проходит через точку M и имеет угловой коэффициент равный нулю (параллельна оси Х), уравнение будет иметь вид y = 0.

Таким образом, точка F(х, у) также будет иметь координаты (х, 0).

Шаг 2: Найдем координаты точки D. Точка D - это правый верхний угол квадрата AMDE, и так как AMDE - квадрат, его стороны равны.

Точка M(5,0), точка A(0,0), следовательно, AM = 5 см.

Зная, что АМ = МD, координаты точки D будут (5, 5).

Шаг 3: Найдем координаты точки E. Точка E - это верхний левый угол квадрата AMDE, координаты которой можно найти, вычитая длину стороны квадрата (5 см) из координаты точки M.

Таким образом, координаты точки E будут (5-5, 0) = (0, 0).

Шаг 4: Найдем длину отрезка AF. Отрезок AF - это высота треугольника АМС из вершины А.

Для нахождения длины отрезка AF можно воспользоваться формулой для высоты треугольника:

Высота треугольника = (2 * Площадь треугольника) / Основание треугольника.

Площадь треугольника АМС можно найти, используя формулу Герона:

Полупериметр треугольника (s) = (AB + AC + BC) / 2 = (6 + 8 + 10) / 2 = 12.

Площадь треугольника АМС = √(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC)) = √(12 * (12 - 6) * (12 - 8) * (12 - 10)) = √(12 * 6 * 4 * 2) = √(576) = 24.

Теперь, вычислим длину отрезка AF:

AF = (2 * Площадь треугольника АМС) / AC = (2 * 24) / 8 = 48 / 8 = 6 см.

Шаг 5: Найдем площадь четырехугольника AFDE.

Площадь квадрата AMDE = сторона^2 = 5^2 = 25 кв.см.

Площадь четырехугольника AFDE = Площадь квадрата AMDE - Площадь треугольника АМС = 25 - 24 = 1 кв.см.

Таким образом, площадь четырехугольника AFDE равна 1 квадратному сантиметру.