Question

УМОЛЯЮЮЮЮ Будем называть натуральное число нечётностепенным, если все его простые делители входят в его разложение в нечётной степени. Какое наибольшее количество нечётностепенных чисел может идти подряд?

Answer 1

Заметим, что таких чисел меньше 8.

И правда, среди 8 подряд идущих натуральных чисел хотя бы одно будет давать остаток 4 при делении на 8 (всего возможных остатков 8, и каждое из 8 подряд идущих чисел дает свой остаток), т.е. будет делиться на 4, но не будет делиться на 8, а значит в его разложении на простые множители двойка входит в четной степени 2. Значит это число не нечетностепенное.

Также очевидно, что квадраты не нечетностепенные, т.к. каждый простой делитель входит в их разложение четное число раз.

Тогда выпишем последовательность чисел, дающих остаток 4 при делении на 8, и квадратов, и будем искать такие 2 подряд идущих в ней числа, что их разность не меньше 8 (тогда между ними в натуральном ряду не меньше 7 чисел)

1, 4, 9, 12, 16, 20, 25, 28, 36...

36-28=8. Проверяем числа между 28 и 36:

29=29¹; 30=2¹*3¹*5¹; 31=31¹; 32=2⁵; 33=3¹*11¹; 34=2¹*17¹; 35=5¹*7¹ - все 7 последовательных чисел нечетностепенные, а значит наибольшее количество нечётностепенных чисел, идущих в натуральном ряду подряд, равно 7

Ответ: 7

Answer 2

Для решения данной задачи рассмотрим несколько первых нечётностепенных чисел и их разложение на простые множители:

1. 1 = 1^1 (ноль простых множителей)
2. 3 = 3^1 (один простой множитель в нечётной степени)
3. 5 = 5^1 (один простой множитель в нечётной степени)
4. 7 = 7^1 (один простой множитель в нечётной степени)
5. 9 = 3^2 (один простой множитель в нечётной степени)
6. 15 = 3^1 * 5^1 (два простых множителя в нечётной степени)
7. 25 = 5^2 (один простой множитель в нечётной степени)
8. 27 = 3^3 (один простой множитель в нечётной степени)

Мы видим, что последовательность нечётностепенных чисел может идти подряд до числа 15, так как при 15 уже появляются два простых множителя в нечётных степенях (3 и 5). После 15, каждое последующее нечётностепенное число будет иметь хотя бы два простых множителя в нечётных степенях, поэтому больше одного числа подряд быть не может.

Таким образом, наибольшее количество нечётностепенных чисел, идущих подряд, равно 4: {1, 3, 5, 7}.