Question

ПОМОГИТЕ СРОЧНО Высоты, проведённые из тупого угла B параллелограмма ABCD, пересекают стороны AD и CD в точках F и E сторон. Докажите, что точки B, E, F и D лежат на одной окружности

Answer 1

В четыпехугольнике ВЕFD противолежащие ВЕD и ВFD прямые, их сумма 180 градусов.  Но тогда и сумма двух других потиволежащих углов 180 градусов.

Значит вокруг этого четырехугольника можно описать окружность (это известная теорема).

Но здесь можно и еще проще. Эта окружность имеет центр в середие ВD и ВD -диаметр этой окружности (медианы прямоугольных треугольников ВFD и ВЕD равны половине гипотенузы ВD и равны радиусу описанной окружности)

Answer 2

Для того чтобы доказать, что точки B, E, F и D лежат на одной окружности, нам понадобится использовать свойства параллелограмма и окружности.

Дано: параллелограмм ABCD, высоты BF и CE, проведенные из тупого угла B, пересекают стороны AD и CD в точках F и E соответственно.

Чтобы доказать, что точки B, E, F и D лежат на одной окружности, нужно показать, что угол BED равен 90 градусам. Это будет означать, что точки B, E, D лежат на окружности с диаметром BE, так как угол, охватываемый диаметром окружности, всегда равен 90 градусам.

Для начала, докажем, что угол CED также равен 90 градусам.

Из свойств параллелограмма известно, что противоположные углы параллелограмма равны. Таким образом, угол ABC равен углу ADC. Также, угол ABC является тупым углом, так как проведен из тупого угла B. Поэтому угол ADC также является тупым.

Теперь рассмотрим треугольник CED. Угол CED является вертикальным углом к углу ADC, а значит, тоже является тупым.

Таким образом, у нас есть два тупых угла: BCD и CED. Их сумма равна 180 градусов.

Теперь обратим внимание на треугольник BED. Углы BDE и BED являются вертикальными углами и равны. Поскольку угол BCD тупой, а угол BDE прямой (так как высота BF перпендикулярна основанию CD параллелограмма), то угол BED будет дополнением угла BDE до 180 градусов. Таким образом, угол BED также равен 180 - угол BCD.

Но мы уже знаем, что угол BCD равен углу CED, и это значит, что угол BED также равен углу CED, т.е., равен 90 градусам.

Таким образом, мы доказали, что угол BED равен 90 градусам, что означает, что точки B, E, D лежат на окружности с диаметром BE. Следовательно, точки B, E, F и D лежат на одной окружности.