Question

Докажите, что расстояние от середины отрезка до плоскости, которая его пересекает равно модулю полуразности расстояний от концов отрезка до этой плоскости.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим отрезок на плоскости и обозначим его концы как точки A и B. Пусть точка M - середина отрезка AB. Плоскость, пересекающая отрезок AB, задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0.

Шаг 1: Найдем расстояние от точки M до плоскости. Для этого воспользуемся формулой для расстояния от точки до плоскости:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

где (x0, y0, z0) - координаты точки M.

Шаг 2: Найдем расстояния от точек A и B до плоскости, используя ту же формулу. Обозначим их как d1 и d2:

$d_1 = \frac{|Ax_A + By_A + Cz_A + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ $d_2 = \frac{|Ax_B + By_B + Cz_B + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Шаг 3: Теперь найдем модуль полуразности расстояний от точек A и B до плоскости:

$|d_1 - d_2|$

Теперь докажем, что расстояние от середины отрезка до плоскости равно модулю полуразности расстояний от концов отрезка до этой плоскости:

$d = |d_1 - d_2|$

Для этого представим отрезок AB в виде вектора $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}$. Тогда середина M будет иметь координаты:

$x_0 = \frac{x_A + x_B}{2}$ $y_0 = \frac{y_A + y_B}{2}$ $z_0 = \frac{z_A + z_B}{2}$

Подставим эти координаты в формулу для расстояния d:

$d = \frac{|A\frac{x_A + x_B}{2} + B\frac{y_A + y_B}{2} + C\frac{z_A + z_B}{2} + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Теперь заметим, что $2d$ представляет собой значение $Ax_A + By_A + Cz_A + D$ для точки M. Аналогично, $-2d$ представляет собой значение $Ax_B + By_B + Cz_B + D$ для точки M. Таким образом, мы можем переписать $d_1$ и $d_2$ в следующем виде: