Question

Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения x'=3x-2yy'=2x-yОтвет получилсяx=e^t(C1+C2t)y=e^t(C1+C2t-1/2C2)Хотел бы свериться с ВашимИзвините, ошибся разделом, но вопрос актуален

Answer 1

Ответ: x(t)=e^t*(C1+C2+1/2*C2*t), y(t)=e^t*(C1+C2*t).

Пошаговое объяснение:

Из второго уравнения находим x=1/2*y'+1/2*y. Дифференцируя по t, получаем x'=1/2*y"+1/2*y'. Подставляя найденные выражения для x и x' в первое уравнение, приходим к уравнению y"-2*y'+y=0. Его характеристическое уравнение k²-2*k+1=0 имеет решения k1=k2=0. Так как корни уравнения равные, то данное дифференциальное уравнение имеет решение y(t)=C1*e^t+C2*t*e^t=e^t*(C1+C2*t).  Отсюда y'=C1*e^t+C2*e^t+C2*t*e^t. Подставляя выражения для y и y' в равенство x=1/2*y'+1/2*y, находим x(t)=e^t*(C1+C2+1/2*C2*t).

Answer 2

Давайте решим систему дифференциальных уравнений методом исключения.

Дана система уравнений:

1. x' = 3x - 2y
2. y' = 2x - y

Для начала решим первое уравнение (1) относительно y: y = (3x - x') / 2

Теперь подставим найденное значение y во второе уравнение (2): y' = 2x - ((3x - x') / 2) y' = 2x - (3x / 2) + (x' / 2) y' = (x' - x) / 2

Теперь у нас есть уравнение только с производной y. Для его решения, разделим уравнение на (x - x'):

y' / (x - x') = (x' - x) / (2 * (x - x')) y' / (x - x') = -1 / 2

Теперь проинтегрируем обе части уравнения по переменной t:

∫(y' / (x - x')) dt = ∫(-1 / 2) dt

Левая часть:

∫(y' / (x - x')) dt = ∫1 d(y / (x - x')) ∫(y' / (x - x')) dt = ln|y / (x - x')| + C1

Правая часть:

∫(-1 / 2) dt = -t / 2 + C2

Теперь объединим результаты:

ln|y / (x - x')| + C1 = -t / 2 + C2

Теперь можно избавиться от логарифма, применяя экспоненту к обеим сторонам:

|y / (x - x')| = e^(-t / 2 + C2 - C1)

С учетом того, что e^(C2 - C1) представляет некоторую новую константу, обозначим ее как C3:

|y / (x - x')| = C3 * e^(-t / 2)

Теперь рассмотрим два случая для абсолютного значения:

1. y / (x - x') = C3 * e^(-t / 2) (когда y / (x - x') >= 0)
2. y / (x - x') = -C3 * e^(-t / 2) (когда y / (x - x') < 0)

Теперь решим каждый случай отдельно:

1. y / (x - x') = C3 * e^(-t / 2)

Решим уравнение относительно y:

y = C3 * e^(-t / 2) * (x - x')

Теперь решим первое уравнение (1) с использованием полученного выражения для y:

x' = 3x - 2y x' = 3x - 2 * C3 * e^(-t / 2) * (x - x') x' = 3x - 2C3 * e^(-t / 2) * x + 2C3 * e^(-t / 2) * x'

Теперь выразим x':

x' - 2C3 * e^(-t / 2) * x' = 3x + 2C3 * e^(-t / 2) * x x' * (1 - 2C3 * e^(-t / 2)) = x * (3 + 2C3 * e^(-t / 2)) x' = x * (3 + 2C3 * e^(-t / 2)) / (1 - 2C3 * e^(-t / 2))

Теперь решим уравнение для x':

dx/dt = x * (3 + 2C3 * e^(-t / 2)) / (1 - 2C3 * e^(-t / 2))

Это уравнение можно решить с помощью методов разделения переменных и интегрирования.

2. y / (x - x') = -C3 * e^(-t / 2)

Повторяем аналогичные шаги и получаем другие выражения для x и x':

y = -C3 * e^(-t / 2) * (x - x')

dx/dt = x * (3 - 2C3 * e^(-t / 2)) / (1 + 2C3 * e^(-t / 2))

Таким образом, у нас есть два набора решений для системы дифференциальных уравнений, которые зависят от постоянной C3 и описывают два различных поведения системы в зависимости от начальных условий.