Question

Помогите решить. Продифференцировать функции. 1. y=3^tgx arcsin(x^2) 2. y=ln sin6x3. (arctg7x)/(2-9x^2)

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Давайте продифференцируем каждую из данных функций по очереди:

1. y = 3^tgx * arcsin(x^2)

Для решения этого задания мы воспользуемся правилом производной произведения двух функций.

Правило производной произведения функций: (f * g)' = f' * g + f * g'

Для первой функции, f(x) = 3^tgx, мы должны продифференцировать f и g, затем умножить их на соответствующие производные:

f(x) = 3^tgx f'(x) = (3^tgx)' = (e^(ln 3^tgx))' = (e^(tgx * ln 3))' = e^(tgx * ln 3) * (tgx * ln 3)' = 3^tgx * (tgx * ln 3)'

g(x) = arcsin(x^2) g'(x) = (arcsin(x^2))' = (sin^(-1)(x^2))' = (1 / sqrt(1 - (x^2)^2)) * (x^2)' = (1 / sqrt(1 - x^4)) * (2x)

Теперь мы можем записать полную производную:

y' = f' * g + f * g' = 3^tgx * (tgx * ln 3)' * arcsin(x^2) + 3^tgx * tgx * ln 3 * (1 / sqrt(1 - x^4)) * (2x)

2. y = ln(sin(6x^3))

Здесь мы должны применить правило производной композиции функций.

Правило производной композиции функций: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

В данном случае f(u) = ln(u) и g(x) = sin(6x^3).

f'(u) = 1 / u g'(x) = cos(6x^3) * (6x^3)'

Вычислим производные:

f(u) = ln(u) f'(u) = 1 / u

g(x) = sin(6x^3) g'(x) = cos(6x^3) * (6x^3)' = cos(6x^3) * (18x^2)

Теперь мы можем записать полную производную:

y' = f'(g(x)) * g'(x) = (1 / sin(6x^3)) * cos(6x^3) * (18x^2) = 18x^2 * cos(6x^3) / sin(6x^3)

3. (arctg(7x)) / (2 - 9x^2)

Здесь нам понадобятся правила производной для арктангенса и деления.

Правило производной арктангенса: (arctg(u))' = u' / (1 + u^2)

Правило производной деления: (f / g)' = (f' * g - f * g') / g^2

f(x) = arctg(7x) f'(x) = (7x)' / (1 + (7x)^2) = 7 / (1 + 49x^2)

g(x) = 2 - 9x^2 g'(x) = (2 - 9x^2)' = -18x

Теперь мы можем записать полную производную:

y' = (f' * g - f * g') / g^2 = ((7 / (1 + 49x^2)) * (2 - 9x^2) - arctg(7x) * (-18x)) / (2 - 9x^2)^2

Это является окончательным результатом для третьей функции.

Надеюсь, это поможет вам решить задачи!