Question

Федор забыл код от замка, но он смог вспомнить, что все цифры кода различны и их сумма равна 28. Сколько различных кодов нужно перебрать Федору, чтобы наверняка открыть замок, если открывающий механизм замка состоит из четырех дисков с полным набором цифр на каждом?

Answer 1

Сумма цифр кода равна 28. Заметим, что максимальная сумма цифр на двух дисках замка равна 18, но тогда на каждом из этих двух дисков будет одинаковая цифра 9, а по условию все цифры кода различны, значит на двух дисках замка сумма цифр не превышает 17. Пусть на первых двух дисках замка сумма цифр кода равна 11, а на на последних двух дисках сумма равна 17. Тогда на первых двух дисках могут быть следующие комбинации цифр: 2 и 9, 3 и 8, 4 и 7 и 5 и 6. На последних двух дисках только 8 и 9. Варианты 2 и 9 и 3 и 8 отбрасываем, так как цифры повторяются с парой 8 и 9. Тогда на первых дисках остаются пары 4 и 7 и 5 и 6. Имеем две пары чисел с числом размещений в каждой паре равным двум. Общее число вариантов для первой пары дисков 2 + 2 = 4. На последних двух дисках одна пара чисел с числом размещений равным двум. Тогда общее количество вариантов будет равно 4*2 = 8. Аналогично пара 8 и 9 может быть на первых двух дисках, а пары 4 и 7 и 5 и 6 на вторых. Тогда имеем еще 8 вариантов размещения, то есть всего 2*8 = 16 вариантов. Пусть теперь сумма цифр на первых двух дисках равна 12, а на последних двух 16. Тогда для первых двух дисков имеем следующие комбинации цифр: 3 и 9, 4 и 8 и 5 и 7. Для последних двух дисков соответственно только 7 и 9. Варианты 3 и 9 и 5 и 7 отбрасываем, так как цифры повторяются. Для первых двух дисков остается пара 4 и 8, для последних двух дисков пара 7 и 9. Всего 2*2 = 4 варианта. Плюс еще 4 варианта, если пара 7 и 9 расположена на первых двух дисках. Всего 2*4 = 8 вариантов. Рассмотрим случай, когда на первых двух дисках сумма цифр равна 13, а на последних двух 15. Тогда на первых двух дисках могут располагаться пары 4 и 9, 5 и 8 и 6 и 7, а на последних двух дисках пары 6 и 9 и 7 и 8. Чтобы цифры не повторялись отбрасываем вариант 6 и 7. Тогда имеем для первых двух дисков пару 4 и 9, для последних двух 7 и 8, для первых двух пару 5 и 8, для последних двух 6 и 9. Всего 2*4 = 8 вариантов. Плюс столько же, если пары меняются местами, итого 2*8 = 16 вариантов. Наконец, рассмотрим случай , когда на первых и на последних двух дисках сумма цифр равна 14. Тогда на обеих парах дисков могут быть пары цифр 5 и 9 и 6 и 8. Если на первых двух дисках пара 5 и 9, то на последних двух 6 и 8 и наоборот. Всего 2*4 = 8 вариантов. Таким образом, всего нужно перебрать 2*(8 + 16) = 48 вариантов.

Ответ: 48. 

Answer 2

У Федора есть четыре диска, каждый из которых может содержать десять различных цифр (от 0 до 9). Чтобы найти все возможные комбинации кода, Федор должен перебрать все возможные комбинации чисел на каждом из дисков.

На первом диске Федор может выбрать одну из десяти цифр. На втором диске он может выбрать одну из девяти оставшихся цифр (потому что все цифры должны быть различными). Аналогично, на третьем диске он может выбрать одну из оставшихся восемь цифр, а на четвертом диске - одну из оставшихся семи цифр.

Таким образом, общее количество различных кодов, которые нужно перебрать Федору, равно: 10 * 9 * 8 * 7 = 5,040.

Федору понадобится перебрать 5,040 различных кодов, чтобы наверняка открыть замок.