Question

Найти полный дифференциал функции : z =sin(x+3y).

Answer 1

$dz=z`_{x}dx+z`_{y}dy\\ \\ z`_{x}=(sin(x+3y))`_{x}=cos(x+3y)\cdot (x+3y)`_{x}=cos(x+3y)\cdot 1= cos(x+3y)\\ z`_{y}=(sin(x+3y))`_{y}=cos(x+3y)\cdot (x+3y)`_{y}=cos(x+3y)\cdot 3= 3cos(x+3y)\ \\ \\ dz=cos(x+3y)\cdot dx+3cos(x+3y)\cdot dy=cos(x+3y)\cdot(x+3y)$

Answer 2

Для нахождения полного дифференциала функции z = sin(x + 3y), мы вычислим его, используя частные производные по переменным x и y.

Полный дифференциал функции z = f(x, y) выглядит следующим образом:

dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy

где (∂z/∂x) - частная производная z по x, а (∂z/∂y) - частная производная z по y.

Начнем с нахождения частных производных:

1. Частная производная z по x (∂z/∂x):

Для этого возьмем производную sin(x + 3y) по x. При дифференцировании sin функции, мы получаем cos функцию, а производная аргумента x + 3y равна 1:

∂z/∂x = cos(x + 3y)

2. Частная производная z по y (∂z/∂y):

Теперь возьмем производную sin(x + 3y) по y. При дифференцировании sin функции, мы получаем cos функцию, а производная аргумента x + 3y по y равна 3:

∂z/∂y = 3cos(x + 3y)

Теперь, когда у нас есть обе частные производные, мы можем записать полный дифференциал:

dz = cos(x + 3y)dx + 3cos(x + 3y)dy

Это и есть полный дифференциал функции z = sin(x + 3y).