Question

Y=2х/x^2+1 исследовать функцию и построить ее график

Answer 1

Дана функция y = 2x/(x² + 1.

Функция нечетная.

Условия для точек разрыва :    x² + 1 = 0,  x² = -1.

Точки разрыва :    нет.

Корни функции (точки пересечения с осью абсцисс x) :    x = 0.

 

Вычисление y′ :    y′=2⋅1(x²+1)−x(2x)(x²+1)2=2⋅1−x²(x²+1)2=−2(x−1)(x+1)(x2+1)2

Первая производная :    y′=−2(x−1)(x+1)/(x²+1)²

Условия для стационарных точек :    −2(x−1)(x+1)=0

Стационарные точки :    х1=−1, х2=1

 

Вторая производная :    y′′=4x(x²−3)/(x²+1)³

Условия для критических точек :    4x(x²−3)=0

Критические точки :    х1=−√3, х2=√3, х3=0

Асимптота на обоих ±∞ линия y=0.

 

Answer 2

Для исследования функции Y = 2х / (x^2 + 1) сначала произведем анализ ее свойств и нарисуем ее график.

1. Найдем область определения функции: Область определения (ОД) функции - это множество всех допустимых значений переменной x, при которых функция определена.

Знаменатель не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Поэтому x^2 + 1 ≠ 0 Это неравенство выполняется для любого x, так как x^2 всегда неотрицательно, и прибавление 1 не сделает его равным нулю.

Таким образом, область определения функции Y = 2х / (x^2 + 1) - это все действительные числа.

2. Найдем точки пересечения функции с осями координат: а) Точка пересечения с осью Y (ось ординат): Когда x = 0, Y = 2 * 0 / (0^2 + 1) = 0 / 1 = 0 Таким образом, функция проходит через точку (0, 0).

б) Точки пересечения с осью X (ось абсцисс): Когда Y = 0, 2х / (x^2 + 1) = 0 Поскольку числитель всегда положителен (2х при любом x), функция не имеет нулей.

3. Найдем вертикальные асимптоты: Вертикальная асимптота возникает, когда знаменатель функции стремится к нулю. Так как x^2 всегда неотрицательно, знаменатель x^2 + 1 всегда положителен. Значит, у функции нет вертикальных асимптот.

4. Найдем горизонтальные асимптоты: Когда |x| стремится к бесконечности, функция также стремится к горизонтальной асимптоте.

lim(x -> ±∞) 2х / (x^2 + 1) = 0 При очень больших или очень маленьких значениях x, знаменатель x^2 + 1 становится пренебрежимо малым по сравнению с 2х, и функция приближается к 0.

Таким образом, у функции есть две горизонтальные асимптоты: y = 0.

5. Проанализируем поведение функции в интервалах между вертикальными асимптотами: Для этого можно построить таблицу значений функции, выбрав разные значения x в интервале (-∞, +∞).

x | Y = 2х / (x^2 + 1)

-3 | -0.3636... -2 | -0.8 -1 | -1 0 | 0 1 | 1 2 | 0.8 3 | 0.3636...

Из таблицы видно, что функция симметрична относительно оси y = 0 и что она ограничена значениями между -1 и 1. Также функция убывает по мере приближения к вертикальным асимптотам.

6. Построим график функции Y = 2х / (x^2 + 1):

Для построения графика рекомендуется использовать программы для визуализации математических функций, такие как WolframAlpha, Desmos, или графические редакторы, которые поддерживают построение графиков.

Общий вид графика будет выглядеть как симметричная кривая вокруг оси y = 0, ограниченная между y = -1 и y = 1, и приближающаяся к горизонтальным асимптотам y = 0 при x -> ±∞.

Примерный вид графика вы можете увидеть здесь: https://www.desmos.com/calculator/ohjdlygs6t

Обратите внимание, что график может быть приблизительным из-за ограничений в точности отображения на экране.