Question

На какое количество множителей с рациональными коэффициентами разложится многочлен 1) a^6+b^6c^6 2) y^6-64

Answer 1

$1)\; \; a^6+b^6c^6=a^6+(bc)^6=(a^2)^3+((bc)^2)^3=(a^2)^3+(b^2c^2)^3=\\\\=(a^2+b^2c^2)(a^4-a^2b^2c^2+b^4c^4)\\\\\\2)\; \; y^6-64=(y^2)^3-4^3=(y^2-4)(y^4+4y+16)=\\\\=(y-2)(y+2)(y^4+4y+16)$

Answer 2

1. Многочлен a^6 + b^6c^6 разложится на два множителя с рациональными коэффициентами.

Данный многочлен может быть факторизован с помощью формулы разности кубов следующим образом:

a^6 + b^6c^6 = (a^2)^3 + (b^2c^2)^3

Теперь мы имеем разность кубов, которую можно разложить следующим образом:

x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)

Применяя эту формулу к исходному многочлену, получаем:

a^6 + b^6c^6 = (a^2 - b^2c^2)(a^4 + a^2b^2c^2 + (b^2c^2)^2)

Таким образом, многочлен a^6 + b^6c^6 разложится на два множителя: (a^2 - b^2c^2) и (a^4 + a^2b^2c^2 + (b^2c^2)^2).

2. Многочлен y^6 - 64 также разложится на два множителя с рациональными коэффициентами.

Данный многочлен является разностью квадратов и может быть разложен следующим образом:

y^6 - 64 = (y^3)^2 - 8^2

Используя формулу разности квадратов, получаем:

y^6 - 64 = (y^3 - 8)(y^3 + 8)

Таким образом, многочлен y^6 - 64 разложится на два множителя: (y^3 - 8) и (y^3 + 8).