Question

В треугольнике ABC проведены биссектрисы двух.внешних углов B и C. Докажите, что они пересекаются под углом 90 градусов минус половина угла

Answer 1

Пусть $\sf \angle BCA=\alpha$ и $\angle ABC=\beta$. Тогда $\angle ECB=180^\circ-\alpha$ и $\angle DBC=180^\circ -\beta$. Поскольку $CF$ - биссектриса угла $ECB$, то $\angle ECF=\angle BCF=90^\circ -\dfrac{\alpha}{2}$. Аналогично, $BF$ - биссектриса угла $DBA$, то $\angle DBF=\angle CBF=90^\circ -\dfrac{\beta}{2}$.

Известно, что сумма углов треугольника равна 180°

$\angle BAC+\alpha+\beta=180^\circ\\ \\ 180^\circ-\angle BAC=\alpha+\beta$

$\angle CFB=180^\circ -\Big(90^\circ -\dfrac{\alpha}{2}+90^\circ -\dfrac{\beta}{2}\Big)=\dfrac{\alpha+\beta}{2}=90^\circ -\dfrac{\angle BAC}{2}$

Answer 2

Для начала дадим обозначения:

Пусть треугольник ABC имеет биссектрисы внешних углов B и C. Пусть I_B и I_C - центры вписанных окружностей, соответствующие вершинам B и C соответственно. Пусть P - точка пересечения этих биссектрис.

Теперь давайте рассмотрим угол BPC. Поскольку I_B и I_C - центры вписанных окружностей, отрезки BP и CP являются касательными к соответствующим окружностям. Следовательно, угол BPC равен половине разности дуг BC, образованных этими касательными.

Аналогично, угол BAC равен половине разности дуг BC, образованных касательными от точки A к окружностям, описанным вокруг треугольников ABI_B и ACI_C.

Таким образом, угол BAC = угол BPC.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABI_B. Поскольку I_B - центр вписанной окружности, угол ABI_B/2 является прямым углом (угол, опирающийся на диаметр). Аналогично, в треугольнике ACI_C угол ACI_C/2 также является прямым углом.

Из вышеизложенного следует, что угол BPC = угол BAC = 90 градусов - (угол ABI_B/2 + угол ACI_C/2). Это и доказывает, что биссектрисы внешних углов B и C пересекаются под углом 90 градусов минус половина угла BAC.