Question

Розглянемо дев'ятизначні числа, в записі яких кожна цифра від 1 до 9 зустрічається тільки один раз. Доведіть, що сума всіх цих чисел ділиться на 111 111 111.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим   девятизначное число вида a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉=a₁·10⁸+a₂·10⁷+a₃·10⁶+a₄·10⁵+a₅·10⁴+a₆·10³+a₇·10²+a₈·10¹+a₉, у которого все цифры различны.

Разобъём данные девять цифр на пары (a;10-a)={(1;9); (2;8); (3;7);(4;6);(5;5);(6;4);(7;3);(8;2);(9;1)}

Сопоставим каждое девятизначное число из условия другому числу след образом.

a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉,↔(10-a₁)(10-a₂)(10-a₃)(10-a₄)(10-a₅)(10-)(10-a₆)(10-a₇)(10-a₈)(10-a₉)

Однозначность такого сопоставления очевидно

Сумма любых двух чисел из таких пар равна

(a₁·10⁸+a₂·10⁷+a₃·10⁶+a₄·10⁵+a₅·10⁴+a₆·10³+a₇·10²+a₈·10¹+a₉)+

(10-a₁)·10⁸+(10-a₂)·10⁷+(10-a₃)·10⁶+(10-a₄)·10⁵+(10-a₅)·10⁴+(10-a₆)·10³+(10-a₇)·10²+(10-a₈)·10¹+a₉)=

10·10⁸+10·10⁷+10·10⁶+10·10⁵+10·10⁴+10·10³+10·10²+10·10¹+10=

=10⁹+10⁸+10⁷+10⁶+10⁵+10⁴+10³+10²+10¹+10=1111111110

Количество же таких пар равно 9!/2

Значить сумма всех чисел удовлетворяющих условию равна

1111111110·9!/2=1111111110·7!·36 что кратно 111111111

Ч.Т.Д.

Answer 2

Давайте спростимо задачу і розглянемо двозначні числа, в яких кожна цифра від 1 до 9 зустрічається тільки один раз. Після цього ми розширимо розв'язок на дев'ятизначні числа.

Для двозначного числа виразимо його у загальному вигляді, де a - перша цифра (може бути від 1 до 9, крім 0), b - друга цифра (також може бути від 1 до 9, але вона повинна бути відмінна від a):

Число = 10 * a + b

Тепер ми розглянемо всі можливі двозначні числа:

1. a = 1, b = 2: 10 * 1 + 2 = 12
2. a = 1, b = 3: 10 * 1 + 3 = 13
3. a = 1, b = 4: 10 * 1 + 4 = 14
4. a = 1, b = 5: 10 * 1 + 5 = 15
5. a = 1, b = 6: 10 * 1 + 6 = 16
6. a = 1, b = 7: 10 * 1 + 7 = 17
7. a = 1, b = 8: 10 * 1 + 8 = 18
8. a = 1, b = 9: 10 * 1 + 9 = 19
9. a = 2, b = 1: 10 * 2 + 1 = 21
10. a = 2, b = 3: 10 * 2 + 3 = 23
11. a = 2, b = 4: 10 * 2 + 4 = 24
12. a = 2, b = 5: 10 * 2 + 5 = 25
13. a = 2, b = 6: 10 * 2 + 6 = 26
14. a = 2, b = 7: 10 * 2 + 7 = 27
15. a = 2, b = 8: 10 * 2 + 8 = 28
16. a = 2, b = 9: 10 * 2 + 9 = 29
17. a = 3, b = 1: 10 * 3 + 1 = 31
18. a = 3, b = 2: 10 * 3 + 2 = 32
19. a = 3, b = 4: 10 * 3 + 4 = 34
20. a = 3, b = 5: 10 * 3 + 5 = 35
21. a = 3, b = 6: 10 * 3 + 6 = 36
22. a = 3, b = 7: 10 * 3 + 7 = 37
23. a = 3, b = 8: 10 * 3 + 8 = 38
24. a = 3, b = 9: 10 * 3 + 9 = 39
25. a = 4, b = 1: 10 * 4 + 1 = 41
26. a = 4, b = 2: 10 * 4 + 2 = 42
27. a = 4, b = 3: 10 * 4 + 3 = 43
28. a = 4, b = 5: 10 * 4 + 5 = 45
29. a = 4, b = 6: 10 * 4 + 6 = 46
30. a = 4, b = 7: 10 * 4 + 7 = 47
31. a = 4, b = 8: 10 * 4 + 8 = 48
32. a = 4, b = 9: 10 * 4 + 9 = 49
33. a = 5, b = 1: 10 * 5 + 1 = 51
34. a = 5, b = 2: 10 * 5 + 2 = 52
35. a = 5, b = 3: 10 * 5 + 3 = 53
36. a = 5, b = 4: 10 * 5 + 4 = 54
37. a = 5, b = 6: 10 * 5 + 6 = 56
38. a = 5, b = 7: 10 * 5 + 7 = 57
39. a = 5, b = 8: 10 * 5 + 8 = 58
40. a = 5, b = 9: 10 * 5 + 9 = 59
41. a = 6, b = 1: 10 * 6 + 1 = 61
42. a = 6, b = 2: 10 * 6 + 2 = 62
43. a = 6, b = 3: 10 * 6 + 3 = 63
44. a = 6, b = 4: 10 * 6 + 4 = 64
45. a = 6, b = 5: 10 * 6 + 5 = 65
46. a = 6, b = 7: 10 * 6 + 7 = 67
47. a = 6, b = 8: 10 * 6 + 8 = 68
48. a = 6, b = 9: 10 * 6 + 9 = 69
49. a = 7, b = 1: 10 * 7 + 1 = 71
50. a = 7, b = 2: 10 * 7 + 2 = 72
51. a = 7, b = 3: 10 * 7 + 3 = 73
52. a = 7, b = 4: 10 * 7 + 4 = 74
53. a = 7, b = 5: 10 * 7 + 5 = 75
54. a = 7, b = 6: 10 * 7 + 6 = 76