Question

Подскажите, пожалуйста: Найти пределы функций, используя правило Лопиталя-Бернулли: lim стремится к бесконечности x/ln(2+x)

Answer 1

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x}{\ln(x+2)}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(x)'}{(\ln(x+2))'}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}=2+x=\infty$

Answer 2

Для нахождения предела функции $\lim_{{x \to \infty}} \frac{x}{\ln(2+x)}$ с помощью правила Лопиталя-Бернулли, сначала необходимо проверить, удовлетворяет ли исходная функция условиям применимости этого правила. Правило Лопиталя-Бернулли применяется к неопределённостям вида $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$.

Обозначим исходную функцию как $f(x) = \frac{x}{\ln(2+x)}$.

Теперь вычислим предел производной функции $f'(x)$ при $x \to \infty$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\ln(2+x)}\right)$.

Используем правило дифференцирования частного:

$f'(x) = \frac{\ln(2+x) - x \cdot \frac{1}{{2+x}}}{(\ln(2+x))^2}$.

Теперь найдём предел этой производной при $x \to \infty$:

$\lim_{{x \to \infty}} f'(x) = \lim_{{x \to \infty}} \frac{\ln(2+x) - x \cdot \frac{1}{{2+x}}}{(\ln(2+x))^2}$.

Подставим $x = \infty$:

$\lim_{{x \to \infty}} f'(x) = \frac{\ln(\infty) - \infty \cdot \frac{1}{{\infty}}}{(\ln(\infty))^2}$.

Здесь имеется неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$.

Теперь мы можем применить правило Лопиталя-Бернулли, которое гласит, что если предел производных функций $\frac{d}{dx}f(x)$ и $\frac{d}{dx}g(x)$ существует, и предел $\lim_{{x \to \infty}} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ существует или равен бесконечности, то предел $\lim_{{x \to \infty}} \frac{f(x)}{g(x)}$ равен тому же значению или также равен бесконечности.

Таким образом:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Применяя это правило, получаем:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{x}{\ln(2+x)} = \lim_{{x \to \infty}} f(x) = \lim_{{x \to \infty}} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Таким образом, предел исходной функции равен пределу выражения $\frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Теперь вычислим предел этого выражения:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{\ln(2+x) - x \cdot \frac{1}{{2+x}}}{(\ln(2+x))^2}$