Question

Составьте уравнение сторон треугольника ABC, зная одну его вершину A(2;-1), а также уравнения высоты 7x-10y+1=0 и биссектрисы 3x-2y+5=0, проведённых из одной вершины.

Answer 1

Находим координаты точки В как точки пересечения высоты и биссектрисы.

7x - 10y + 1 = 0                 7x - 10y + 1 = 0

3x - 2y + 5 = 0 (*(-5))     -15x + 10y - 25 = 0

                                       -8x          - 24  = 0

                                         x = 24/(-8) = - 3,   y = (3*(-3) + 5)/2 = -4/2 = -2.

Точка В(-3; -2).   Вектор АВ = (-3-2; -2-(-1)) = (-5; -1)

Получаем уравнение АВ: (х - 2)/(-5) = (у + 1)/(-1) (каноническое).

5у + 5 = х - 2,    х - 5у - 7 = 0                                   (общее)

у = (1/5)х - (7/5)                                    (с угловым коэффициентом).  

По коэффициентам общих уравнений стороны АВ и биссектрисы находим угол между ними.

tgα = (A1B2 - A2B1)/(A1A2 + B1B2) = (3*(*5) - 1*(-2))/(3 + 10) = 13/13 = 1.

Это угол 45 градусов.

На такой же угол от биссектрисы будет отстоять сторона ВС треугольника.

Находим угловой коэффициент (тангенс угла наклона к оси Ох) биссектрисы из общего уравнения: к = (3/2).

Тогда угол наклона стороны ВС к оси Ох равен сумме углов с к1 = 1 и к2 = (3/2) = 1,5.

tgβ = (k1 + r2)/(1 - k1k2)  = (1 + 1,5) \ (1 - 1*1,5) = 2,5 / (-0,5) = -5.

Тогда уравнение ВС: у = -5х + в.

Дл определения параметра "в" подставим координаты точки В.

-2 = (-5)*(-3) + в,  отсюда в = -2 - 15 = -17.

Уравнение ВС: у = -5х - 17.

Уравнение стороны АС находим как прямой, перпендикулярной высоте (с учётом А1А2 + В1В2 = 0) : 10х + 7у + С = 0.

Для определения С подставим координаты точки А:

10*2 + 7*(-1) + С = 0, откуда С = 7 - 20 = -13.

Уравнение АС: 10х + 7у - 13 = 0.

Answer 2

Для составления уравнения сторон треугольника ABC, зная одну его вершину A(2;-1), а также уравнения высоты и биссектрисы, проведенных из этой вершины, мы можем использовать следующий подход:

1. Найдем точку пересечения высоты и биссектрисы, которая будет вершиной треугольника A.
2. Составим уравнения прямых, проходящих через точку A и параллельные заданным высоте и биссектрисе.
3. Найдем точки пересечения этих прямых с осями координат, которые будут вершинами треугольника B и C.
4. Напишем уравнения сторон треугольника BC и AC, используя найденные вершины B и C.

Итак, начнем с вычисления точки A:

Уравнение высоты: 7x - 10y + 1 = 0 Уравнение биссектрисы: 3x - 2y + 5 = 0

Чтобы найти точку A, решим систему уравнений:

7x - 10y + 1 = 0 3x - 2y + 5 = 0

Решение системы дает нам координаты точки A(1; 3).

Теперь, найдем уравнения прямых, проходящих через точку A и параллельных заданным высоте и биссектрисе. Уравнение прямой, параллельной заданной прямой 7x - 10y + 1 = 0 и проходящей через точку A(1; 3), имеет вид:

7x - 10y + k = 0, где k - некоторая константа.

Аналогично, уравнение прямой, параллельной заданной биссектрисе 3x - 2y + 5 = 0 и проходящей через точку A(1; 3), имеет вид:

3x - 2y + m = 0, где m - некоторая константа.

Теперь мы найдем точки пересечения этих прямых с осями координат, которые будут вершинами треугольника B и C.

Пересечение с осью x (y = 0): Для первой прямой: 7x + k = 0 => x = -k/7 Для второй прямой: 3x + m = 0 => x = -m/3

Пересечение с осью y (x = 0): Для первой прямой: -10y + k = 0 => y = k/10 Для второй прямой: -2y + m = 0 => y = m/2

Итак, вершины B и C имеют координаты: B(-k/7, 0) и C(0, m/2).

Теперь, можем составить уравнения сторон треугольника BC и AC, используя найденные вершины B и C.

Сторона BC проходит через точки B(-k/7, 0) и C(0, m/2). Уравнение этой прямой можно записать в виде:

(y - 0) = ((m/2 - 0)/(0 - (-k/7))) * (x - (-k/7)) y = (m/2k) * (x + k/7)

Сторона AC проходит через точки A(1, 3) и C(0, m/2). Уравнение этой прямой:

(y - 3) = ((m/2 - 3)/(0 - 1)) * (x - 1) y = (-m/2) * x + (5m/2 + 3)

Итак, мы получили уравнения сторон треугольника BC и AC:

BC: y = (m/2k) * (x + k/7) AC: y = (-m/2) * x + (5m/2 + 3)

Здесь k и m - некоторые константы, которые могут быть найдены из условий задачи, но без дополнительной информации о их значениях нельзя более точно определить уравнения сторон.