Question

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна корень из 3, а боковое ребро равно 3. Найдите угол SAC. Ответ дайте в градусах.

Answer 1

В основании правильный шестиугольник, поэтому ∠ABC=120°.

Пусть BH⊥AC, H∈AC.

ΔABC равнобедренный (AB=BC=√3), поэтому BH - медиана и биссектриса. То есть ∠CBH=60°.

В прямоугольном треугольнике BHC (∠C=90°):

HC=BC·sin(∠CBH)=√3·√3/2=3/2

AH=HC=3/2

ΔASC равнобедренный (AS=SC=3). Раз H - середина AC, то SH высота треугольника ASC.

В прямоугольном треугольнике SHA (∠H=90°):

cos(∠SAH)=AH/SA=$\dfrac32:3$ = 1/2 ⇒ ∠SAH=60°.

∠SAC=SAH как углы с одинаковыми сторонами.

Ответ: 60.

Answer 2

Чтобы найти угол SAC в правильной шестиугольной пирамиде, нам нужно рассмотреть треугольник SAC, образованный вершинами S, A и C.

У нас уже есть два известных значения:

1. Длина бокового ребра равна 3.
2. Длина стороны основания равна корню из 3.

Так как у нас правильная шестиугольная пирамида, то ее основание является правильным шестиугольником, и углы основания равны между собой.

Поскольку правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников, мы можем разбить треугольник SAC на два равносторонних треугольника SAH и SCH, где H - середина стороны BC основания.

Теперь давайте найдем длину стороны основания шестиугольника. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен половине длины его стороны. Радиус описанной окружности шестиугольника с длиной стороны равной корню из 3 равен:

$r = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем длину отрезка BH. По теореме Пифагора для треугольника SBH:

$SH^2 = SB^2 - BH^2$ $\frac{\sqrt{3}}{2} = 3 - BH^2$ $BH^2 = 3 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем длину отрезка CH. Он равен длине отрезка BH:

$CH = BH = \sqrt{3 - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Теперь мы можем найти угол SAC, рассматривая треугольник SAH:

$\sin(\angle SAC) = \frac{SH}{SA} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Теперь найдем угол SAC:

$\angle SAC = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right) \approx 15.52^\circ$

Таким образом, угол SAC в правильной шестиугольной пирамиде примерно равен 15.52 градусам.