Question

Разложить в ряд тейлора по степеням x функцию y=sin3x

Answer 1

Ответ: sin(3*x)=∑(-1)^k*(3*x)^(2*k+1)/(2*k+1)!, где k изменяется от 0 до ∞.

Пошаговое объяснение:

Разложение функции f(x) в ряд Тэйлора по степеням x имеет вид:

f(x)=a0+a1*x+a2*x²+...+an*xⁿ+.... ,

где коэффициенты ai находятся по формулам:

a0=f(0), a1=f"(0)/1!, a2=f"(0)/2!,..., an=f⁽ⁿ⁾(0)/n!....

В данном случае f(x)=sin(3*x), f'(x)=3*cos(3*x)=3*sin(3*x+π/2)=3¹*(-1)¹⁺¹*sin(3*x+π*1/2), f"(x)=-9*sin(3*x)=3²*(-1)²⁺¹sin(3*x+π*2/2) и вообще

f⁽ⁿ⁾(x)=3ⁿ*(-1)ⁿ⁺¹*sin(3*x+π*n/2). Отсюда a0=sin(0)=0, и подставляя затем в выражения для n-ной производной x=0, находим:

an=3ⁿ*(-1)ⁿ⁺¹*sin(π*n/2)/n!.

Если n=2*k, где k=0,1,2,...., то sin(2*k*π/2)=sin(k*π)=0, так что все коэффициенты с чётным индексом n=2*k равны нулю. Пусть теперь n=2*k+1, тогда sin[π*(2*k+1)/2]=(-1)^k, и тогда коэффициенты с нечётными индексами 2*k+1 равны a(2*k+1)=3^(2*k+1)*(-1)^(2*k+2)*(-1)^k/(2*k+1)!. Но так как 2*k+2 - чётное число, то (-1)^(2*k+2)=1, и тогда a(2*k+1)=3^(2*k+1)*(-1)^k/(2*k+1)!. Тогда n-ный член ряда Тэйлора равен 3^(2*k+1)*x^(2*k+1)*(-1)^k/(2*k+1)! =(-1)^k*(3*x)^(2*k+1)/(2*k+1)!, и окончательно:

sin(3*x)=∑(-1)^k*(3*x)^(2*k+1)/(2*k+1)!, где k изменяется от 0 до ∞.

Answer 2

Чтобы разложить функцию y = sin(3x) в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0, нам понадобятся значения функции и её производных в этой точке. Затем мы сможем записать ряд Тейлора в следующей форме:

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)*(x-a)^3/3! + ...,

где a = 0, так как мы разлагаем в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0.

1. Вычислим значение функции и её производных:

y = sin(3x) y'(x) = 3cos(3x) y''(x) = -9sin(3x) y'''(x) = -27*cos(3x) ...

2. Запишем ряд Тейлора для функции y = sin(3x) в окрестности x = 0:

sin(3x) = sin(0) + 3*cos(0)x - 9sin(0)x^2/2! - 27cos(0)*x^3/3! + ...

Учитывая, что sin(0) = 0 и cos(0) = 1, упростим выражение:

sin(3x) = 3x - 9x^3/3! + 27x^5/5! - ...

Таким образом, разложение функции y = sin(3x) в ряд Тейлора до бесконечного числа членов выглядит так:

y = 3x - 9x^3/3! + 27x^5/5! - ...