Question

Помогите разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки 0, у= ln((1+x)/(1-x)).

Answer 1

Дана функция lnx2−2x+32−x;x0=1Я попробовал выделить полный квадрат в числителе но это ничего не дало: ln(2−x)2−12−xВот, я разложил, по разложению логарифма, но вроде бы что-то не так, как должно быть^^ ∑n=1∞(−1)n+1(x−1)2n2n+1n+∑n=1∞(−1)n+1(x−1)nn

Answer 2

Для нахождения ряда Тейлора функции в окрестности точки 0, нужно последовательно вычислить ее производные и подставить их в формулу ряда Тейлора.

Сначала найдем первую производную:

y' = (1/(1+x) - 1/(1-x)) / 2 = (1-x - 1-x) / ((1+x)(1-x) * 2) = -1 / (1-x^2)

Теперь найдем вторую производную:

y'' = d/dx (-1 / (1-x^2)) = 2x / (1-x^2)^2

Третью производную:

y''' = d/dx (2x / (1-x^2)^2) = (2 - 6x^2) / (1-x^2)^3

Четвертую производную:

y'''' = d/dx ((2 - 6x^2) / (1-x^2)^3) = (24x^3 - 24x) / (1-x^2)^4

Теперь можем записать ряд Тейлора для функции y в окрестности точки x=0:

y = y(0) + y'(0) * x + y''(0) * x^2 / 2! + y'''(0) * x^3 / 3! + y''''(0) * x^4 / 4! + ...

y = 0 + 0x - x^2/2 + 0x^3 + 3x^4/4 + ...

Таким образом, ряд Тейлора для данной функции в окрестности точки x=0 имеет вид:

y = - x^2/2 + 3x^4/4 - 5x^6/6 + ...