Question

Помогите решить пожалуйста 4 tg x –tg 2x = 0

Answer 1

$4\, \text{tg} \, x - \text{tg} \, 2x = 0$

$4 \, \text{tg} \, x - \dfrac{2 \, \text{tg} \, x}{1 - \text{tg}^{2} \, x} = 0$

$\dfrac{4 \, \text{tg} \, x (1 - \text{tg}^{2} \, x) - 2 \, \text{tg} \, x}{1 - \text{tg}^{2} \, x} = 0$

$\dfrac{4 \, \text{tg} \, x - 4\text{tg}^{3} \, x - 2 \, \text{tg} \, x}{1 - \text{tg}^{2} \, x} = 0$

$\dfrac{2 \, \text{tg} \, x - 4 \, \text{tg}^{3} \, x}{1 - \text{tg}^{2} \, x} = 0$

$\left\{\begin{array}{ccc}2 \, \text{tg} \, x - 4 \, \text{tg}^{3} \, x = 0 \\1 - \text{tg}^{2} \, x \neq 0 \ \ \ \ \ \ \ \\\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{ccc}2 \, \text{tg} \, x (1 - 2 \, \text{tg}^{2} \, x) = 0\\\text{tg}^{2} \, x \neq 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{ccc} \left[\begin{array}{ccc}2\, \text{tg} \, x = 0 \ \ \ \ \ \ \\1 - 2 \, \text{tg}^{2} \, x = 0 \\\end{array}\right \ \ \ \\\ x \neq \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi n}{2}, \ n \in Z \\\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{ccc} \left[\begin{array}{ccc}x = \pi k, \ k \in Z \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\x = \text{arctg} \, \dfrac{\sqrt{2}}{2}+ \pi l, \ l \in Z \ \ \ \\x = -\text{arctg} \, \dfrac{\sqrt{2}}{2}+ \pi p, \ p \in Z\end{array}\right \\\ x \neq \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi n}{2}, \ n \in Z \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\end{array}\right$

Ответ: $x = \pi n; \ x = \text{arctg} \, \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \pi k; \ x = -\text{arctg} \, \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \pi l; \ n, \ k, \ l \in Z$

Answer 2

Для решения уравнения 4tg(x) - tg(2x) = 0, давайте попробуем преобразовать его с помощью тригонометрических тождеств. Здесь мы будем использовать тождество тангенса двойного угла:

tg(2x) = 2tg(x) / (1 - tg^2(x))

Теперь заменим tg(2x) в исходном уравнении:

4tg(x) - 2tg(x) / (1 - tg^2(x)) = 0

Чтобы упростить уравнение, домножим обе стороны на (1 - tg^2(x)):

4tg(x) * (1 - tg^2(x)) - 2tg(x) = 0

Распишем скобку:

4tg(x) - 4tg^3(x) - 2tg(x) = 0

Теперь объединим одинаковые слагаемые:

4tg(x) - 2tg(x) - 4tg^3(x) = 0

2tg(x) - 4tg^3(x) = 0

Теперь выразим tg(x):

2tg(x) = 4tg^3(x)

tg(x) = 4tg^3(x) / 2

tg(x) = 2tg^3(x)

Теперь заметим, что tg(x) = 0 является одним из решений, но у нас может быть ещё неизвестное решение. Для этого допустим, что tg(x) ≠ 0, тогда можно разделить обе стороны на tg(x):

1 = 2tg^2(x)

tg^2(x) = 1 / 2

tg(x) = ±sqrt(1 / 2)

tg(x) = ±sqrt(2) / 2

Таким образом, у нас получаются два дополнительных решения: tg(x) = sqrt(2) / 2 и tg(x) = -sqrt(2) / 2.

Итак, уравнение имеет три решения:

1. tg(x) = 0
2. tg(x) = sqrt(2) / 2
3. tg(x) = -sqrt(2) / 2

Пожалуйста, проверьте эти ответы, подставив их в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они являются корректными.