Question

По окончании футбольного турнира, в котором каждая команда играет с каждой ровно один раз (в футболе за победу команда получает 3 очка, за ничью – 1 очко, а за поражение – 0 очков) команда, не ставшая ни первой, ни последней, имела тот же процент набранных очков, что и перед последним туром. Какой? (Процент набранных очков – это отношение суммы набранных очков к максимально возможной, выраженное в процентах.)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Каждая команда провела 4 игры.

Ясно, что первая команда один раз сыграла вничью, а остальные игры проиграла. Вторая имеет две ничьи и два поражения. Третья команда пять очков на одних ничьих набрать не могла, стало быть, она один раз выиграла, кроме того, у неё две ничьи и поражение. Четвёртая команда победила два раза (если бы один, то ей пришлось бы набрать в трёх играх на одних ничьих 4 очка, что невозможно). Также у этой команды есть ничья и поражение. В итоге первые четыре команды выиграли 3 раза, а проиграли 7 раз. Однако число побед должно равняться числу поражений. Значит, 4 раза они проиграли пятой команде, и у той 12 очков. Нетрудно привести пример турнира, где такое распределение очков возможно. Пусть пятая команда выиграла у всех, четвёртая – у первой и второй, третья – у первой, а все остальные игры закончились вничью. Тогда у каждой команды будет названное число очков.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим количество команд в турнире как N.

Поскольку каждая команда играет с каждой ровно один раз, общее количество матчей в турнире можно вычислить с помощью сочетаний из N команд по 2 матча на каждую пару команд: C(N, 2) = N! / (2! * (N-2)!) = N * (N-1) / 2.

Теперь общее количество очков, которые можно набрать в турнире, зависит от количества команд N и количества матчей N_matches: Максимальное количество очков = 3 * N_matches.

Давайте рассмотрим команду, которая не стала ни первой, ни последней. Когда остается только одна команда до финиша (после N-1 матча), у неё будет тот же процент набранных очков, что и до последнего тура.

Предположим, что до последнего тура у команды было X очков. Это означает, что после N-1 матчей у этой команды было X очков.

Теперь рассмотрим последний матч этой команды. Есть три возможных исхода:

1. Команда выиграла последний матч: Тогда она получит еще 3 очка и у неё будет X + 3 очка.
2. Команда сыграла вничью: Тогда она получит еще 1 очко и у неё будет X + 1 очко.
3. Команда проиграла последний матч: Тогда она не получит никаких очков и у неё останется X очков.

В любом из случаев, команда наберет определенное количество очков после последнего тура, но процент набранных очков останется таким же, как и до последнего тура.

Теперь давайте перейдем к выражению процента набранных очков:

Процент набранных очков = (Набранные очки / Максимально возможные очки) * 100

Для команды, которая не стала ни первой, ни последней, процент набранных очков до последнего тура и после него должен быть одинаковым:

(X / (3 * N_matches)) * 100 = ((X + Y) / (3 * N_matches)) * 100

Где Y - количество очков, которые команда получила в последнем туре.

Теперь давайте решим уравнение относительно Y:

X = X + Y

Это уравнение показывает, что количество очков, которые команда получила в последнем туре (Y), равно 0.

Это означает, что команда не получила ни одного очка в последнем туре. Таким образом, до последнего тура у команды было X очков, после чего она не набрала никаких очков в последнем туре, и процент набранных очков остался тем же.

Важно отметить, что данное рассуждение верно для любого количества команд N. Таким образом, процент набранных очков для команды, не ставшей ни первой, ни последней, будет равен проценту её набранных очков до последнего тура, и это будет 0%.