Question

Вася выбирает две различные карточки, на каждой из которых цифра отличная от нуля. Так же у него есть мешок с 5 монетами. Используя карточки и монеты Вася составляет натуральные числа от 1-значного до 7-значных. Потом суммирует все 65 получившхися чисел. Будет ли эта сумма кратная трем, независимо от того, какую карту выберет Вася?

Answer 1

Ответ:

345680,27,9 у меня получились эти числа

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Да, сумма всех 65 получившихся чисел будет кратна трем, независимо от того, какую карту выберет Вася.

Пояснение:

Обозначим выбранные карточки цифрами A и B, где A ≠ 0 и B ≠ 0.

Посмотрим на все возможные натуральные числа, которые можно составить, используя карточки и монеты:

1-значные числа: A, B 2-значные числа: 10A + B, 10B + A 3-значные числа: 100A + 10B + C, 100B + 10A + C, 100C + 10A + B, 100C + 10B + A (где C - одна из монет) 4-значные числа: 1000A + 100B + 10C + D, 1000B + 100A + 10C + D, 1000C + 100A + 10B + D, 1000C + 100B + 10A + D, 1000D + 100A + 10B + C, 1000D + 100B + 10A + C (где D - одна из монет) и так далее...

Заметим, что каждое из чисел вида 10kA + kB (где k - натуральное число) можно записать как 10A + B, так как они равны друг другу (оба числа содержат те же цифры и просто записаны в различных форматах).

Следовательно, в каждом числе сумма цифр равна сумме цифр A и B. И так как каждое число будет встречаться одинаковое количество раз (по одному разу для каждой монеты), то общая сумма всех чисел будет равна 65 раз (количество чисел) умноженное на сумму цифр A и B.

Теперь осталось доказать, что сумма цифр A и B всегда кратна трем, независимо от их значений.

Если A и B — две различные цифры от 1 до 9 (за исключением 0), то их сумма всегда будет кратна трем. Всего возможных комбинаций различных цифр от 1 до 9 — 36 (9 * 4), из которых 12 комбинаций дают сумму, кратную трем (1 + 2, 1 + 5, 1 + 8, 2 + 4, 2 + 7, 3 + 6, 3 + 9, 4 + 8, 5 + 7, 6 + 9). Таким образом, с вероятностью 12/36 = 1/3 сумма цифр A и B будет кратна трем.

Таким образом, общая сумма всех чисел будет кратна трем независимо от выбора карточек A и B.